zadanie z liczbami naturalnymi

Aramil · Post autor: **Aramil** » 18 kwie 2006, o 17:49

Mam takie zadanie z którym niebardzo sobie radzę:

Suma dwóch liczb naturalnych stanowi 75% tysiaca, a iloraz ich najmniejszej wspolnej wielokrotnosci przez najwiekszy wspolny dzielnik jest o 30% wiekszy od liczby 920. Znajdz te liczby.

Tristan · Post autor: **Tristan** » 18 kwie 2006, o 20:52

Skorzystaj z faktu, że:
Dla dowolnych liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ NWD(a,b) NWW(a,b)=ab}\).

Aramil · Post autor: **Aramil** » 18 kwie 2006, o 22:55

Próbowałem już wcześniej tak robić ale coś mi nie wychodziło mozna troszke większa wskazówke??

Tristan · Post autor: **Tristan** » 18 kwie 2006, o 23:11

Gdy już wziąłem się za to zadanie, okazuje się, że w pewnym momencie i ja się zacinam
Dokładnie jest to moment, gdy dochodzę do równania \(\displaystyle{ 1196 (NWD(a,750-a))^2=(750-a)a}\).

Rogal · Post autor: **Rogal** » 18 kwie 2006, o 23:23

Te liczby to 520 i 230, ale formalnego dowodu nie mam, a poza tym nie mam siły

Aramil · Post autor: **Aramil** » 19 kwie 2006, o 14:43

Tristan zaciąłem się dokładnie w tym samym momencie

Rogal jak będziesz na siłach to napisz wszystko

Rogal · Post autor: **Rogal** » 19 kwie 2006, o 15:14

Przez a i b oznaczmy szukane liczby.
Mamy więc a+b = 750, a także \(\displaystyle{ \frac{NWW(a,b)}{NWD(a,b)} = 1196}\).
Wiemy też, że NWW(a, b)*NWD(a, b) = ab, z tego \(\displaystyle{ NWW(a, b) = \frac{ab}{NWD(a,b)}}\)
Przyjmijmy NWD(a, b) = d. Z definicji mamy a = dk i b = dl, gdzie k i l są całkowite i względnie pierwsze względem siebie. Wstawmy do drugiego równania za NWW(a, b):
\(\displaystyle{ \frac{\frac{ab}{d}}{d} = 1196 \\ \frac{ab}{d^{2}} = 1196}\)
Wstawiamy do obu równań za a i b:
\(\displaystyle{ dk+dl = 750 \\ \frac{d^{2}kl}{d^{2}} = 1196 \\ k+l = \frac{750}{d} \\ kl = 1196}\)
I teraz robimy najbardziej prostacki psikus, czyli rozkładamy te dwie liczby na czynniki pierwsze:
\(\displaystyle{ k+l = \frac{2 3 5 5 5}{d} \\ kl = 2 2 13 23}\)
Szczególnie interesuje nas drugie równanie, pierwsze będzie tylko do sprawdzenia poprawności.
Mamy k*l = 2*2*13*23, ponieważ k i l mają być względnie pierwsze, to zapiszmy to tak: k*l = 4*13*23. Mamy teraz dwie możliwości: albo k=4*13, albo k = 4*23. Sprawdzamy przypuszczenie pierwszym równaniem i dostajemy rozwiązanie : )