Trójka liczb spełniająca własność :)

[Tristan]

Wyznacz wszystkie trójki kolejnych liczb nieparzystych, takich, że suma ich kwadratów daje czterocyfrową liczbę o tych samych cyfrach.


Zadanie z mojego konkursu szkolego. Bardzo przyjemne i spodobało mi się
Tak przy okazji, wykazałem sobie potem w domu, że nie istnieje taka czwórka, ani piątka (dla uogólnionego przypadku, żeby w ogóle dawały liczbę o tych samych cyfrach).
Zastanawiam się teraz, czy istnieje w ogóle jeszcze jakaś n-ka kolejnych liczb nieparzystych, która spełniałaby tą zależność, że suma ich kwadratów dawałby liczbę o tych samych cyfrach, a jeżeli nie, to jak to wykazać?

A tak poza tym, to pokażę moje rozwiązanie:
Mamy liczby 2k-1, 2k+1, 2k+3 czyli mamy równanie \(\displaystyle{ (2k-1)^2 + (2k+1)^2 + (2k+3)^2=m}\), gdzie oczywiście m jest czterocyfrową liczbą o tych samych cyfrach.
Po rozpisaniu lewej strony otrzymuję \(\displaystyle{ 12k(k+1)+11=m}\). Widzimy, że lewa strona jest nieparzysta, więc m=2222 i 4444 i 6666 i 8888 odpada. Teraz rozważamy 5 przypadków:
1. Dla m=1111 mamy 12k(k+1)+11=1111 czyli 12k(k+1)=1100, ale lewa strona jest podzielna przez 3, a prawa nie, więc m=1111 odpada.
2, 4 i 5 przypadek tak samo jak pierwszy
Zostaje nam m=5555, czyli mamy 12k(k+1)=5544, czyli k(k+1)=462, a ponieważ jest to rówanie całkowitoliczbowe, więc od razu można napisać, że k=21.
Teraz już podstawiając otrzymujemy trójkę liczb spełniających warunek zadania.
Odp: \(\displaystyle{ 41^2+43^2+45^2=5555}\)

[Tomasz Rużycki]

Mozna sobie prosto ograniczyc k z gory i z dolu, zostanie pare przypadkow do recznego sprawdzenia