NWD, NWW

[paula.]

Iloczyn dwóch liczb naturalnych wynosi 1260, a ich NWD (największy wspólny dzielnik) jest równy 6. Oblicz NWW tych liczb oraz podaj te liczby. Czy istanieje tylko jedna para takich liczb?

[silicium2002]

wiemy że \(\displaystyle{ ab = 1260}\) i że : \(\displaystyle{ 6 | a \wedge 6 | b \Leftrightarrow 36 | 1260 \Rightarrow \frac{a}{6} \cdot \frac{b}{6} = 35}\) łatwo zauważyć że 35 jest iloczynem dwóch liczb pierwszych 7 i 5 a więc tylko takie mogą być wartości \(\displaystyle{ \frac{a}{6} \ i \ \frac{b}{6} \Rightarrow a = 42 \wedge b = 30 \Rightarrow NWW (a,b) = NWW(42,30) = 210}\)

[paula.]

o kurcze...
a mógłbyś mi wytłumaczyć jak to zorbiłeś??
tak krok po kroku?
bo jak mnie matematyczka spyta to będzie lipa...

[pawelsuz]

Prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ NWD(a,b) \cdot NWW(a,b)=ab}\)

[silicium2002]

Eh no to tak:

1) jeżeli obie są podzielne przez 6 to możemy je oznaczyć sobie:
\(\displaystyle{ a = 6k \ i \ b = 6p}\) wtedy:

\(\displaystyle{ ab = 1260 \ czyli \ 6k \cdot 6p = 1260 \ czyli \ 36kp = 1260 \ czyli \ kp = 35}\)

2) Teraz jeżeli\(\displaystyle{ k \cdot p = 35}\) to zauważ że tylko (tylko bo mamy iloczyn liczb pierwszych a jak wiadomo liczby pierwsze poza sobąi 1 nie mają dzielników) liczby \(\displaystyle{ 5 \cdot 7 \ daja \ 35}\)
więc \(\displaystyle{ k = 5 \ i \ p = 7}\)

3) więc \(\displaystyle{ a = 42 (\ bo \ 7 \cdot 6 =42) \ i \ a = 30 (\ bo \ 5 \cdot 6 =30)}\)

4) NWW (30 i 42) chyba już umiesz policzyć

[paula.]

hehe tak, tak umiem:P
dzięki bardzo:)