Liczby całkowite, podzielność, różnica kwadratów...

[Za?amka]

1) wykaz ze dla kazdego m \(\displaystyle{ \in}\) N+ liczba postaci \(\displaystyle{ \frac{3m-5}{12}( m^{3} - 3m^{2}+ 2m)}\) jest liczba calkowita

2) wykaz ze kazda liczba pierwsza wieksza od 3 jest postaci 6n + 1 lub 6n+5 gdzie n\(\displaystyle{ \in}\)N

3) liczby m i n sa liczbami pierwszymi spelniajacymi warunek m>n> 2. wykaz ze roznica kwadratow tych liczb jest podzielna przez 4

4) do liczby 15 dopisano cyfre a na poczatku i cyfre b na koncu i otrzymano liczbbe czterocyfrowa podzielna przez
a) 15 b) 18 zapisz te liczbe

5) liczba naturalna n podzielna przez 4 ma dokladnie piec mniejszych od siebie dzielnikow ktorych suma rozna sie tej liczbie. wyznacz liczbe n

Sugeruję zastanowić się chwilę nad nazwą tematu...

[Mruczek]

2)
Nie wiem czy prawidłowo...
Liczba pierwsza większa od 3, czyli ta liczba nie jest podzielna przez 2 i 3, czyli ta liczba pierwsza nie jest podzielna przez 6 (oczywiste):
6k+1 - może być liczbą pierwszą
6k+2 - podzielna przez 2 - niemożliwe
6k+3 - podzielna przez 3 - niemożliwe
6k+4 - podzielna przez 2 - niemożliwe
6k+5 - może być liczbą pierwszą.

[Citizen]

Ad1 \(\displaystyle{ \frac{(3m-5)( m^{3} - 3m^{2}+ 2m)}{12}}\) Musi być podzielna przez 12, Czyli przez 2 i 6. Możesz rozważyć parzyste i neiparzyste m, okaże się że licznik zawsze będzie parzysty więc podzielny przez 2, teraz sprawdzamy podzielność przez 6, \(\displaystyle{ m^{3} - 3m^{2}+ 2m}\) jest zawsze podzielne przez 6 ponieważ \(\displaystyle{ 6|m^{3}-m}\) ( co łatwo udowodnić, jest to iloczyn trzech kolejnych liczb) oraz \(\displaystyle{ 6|3m^{2}+3m}\) więc \(\displaystyle{ 6|m^{3}-m + 3m^{2}+2m}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ 6|m{3}-3m{2}+2m}\)


Ad3 \(\displaystyle{ 4|m^{2}-n^{2} \Rightarrow 4|m^{2}-1-(n^{2}-1) \Rightarrow \begin{cases} 4|m^{2}-1 \\ 4|n^{2}-1 \end{cases}}\) rozkładasz to na \(\displaystyle{ m^{2}-1=(m-1)(m+2)}\), podobnie z "n" i dowodzisz tezy.

[Mruczek]

4.
a) przez 15
Ta szukana liczba musi być podzielna przez 15, czyli przez 5 i przez 3\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)ostatnią cyfrą tej liczby musi być 0 lub 5 i suma cyfr tej liczby musi być podzielna przez 3 \(\displaystyle{ \Rightarrow b=0 \ \vee b=5 \wedge 3 |a+1+5+b}\) .
b) przez 18
Szukana liczba musi być podzielna przez 18, czyli przez 2 i przez 9 \(\displaystyle{ \Rightarrow a \in \{0,2,4,6,8\} \wedge 9 |a+6+b}\) .

[Citizen]

Ad. 5

Zakładam, że w zadaniu jest literówka i tam ma być "suma jej dzielników róWna się n" więc tak:

Podzielna jest przez 4, więc też przez 2, na pewno podzielna jest też przez 1. Mamy już 3 dzielniki.

teraz równość :

\(\displaystyle{ 1+2+4+ d_{4}+d_{5}=n}\)

\(\displaystyle{ d_{4}+d_{5}=n-7}\)

n jest podzielne przez 4, więc n-7 przystaje do 1(mod4), lewa strona równania także musi dawać resztę 1 przy dzieleniu przez 7.
czyli \(\displaystyle{ d_{1} i d_{2}}\) muszą spełniać warunki:

(= oznaczać będzie "przystaje")
\(\displaystyle{ 4|d_{1} \wedge d_{2}=1(mod4)}\) i na odwrót oczywiście, lub:

\(\displaystyle{ d_{1}=3(mod4) \wedge d_{2}=2(mod4)}\) oraz odwrotnie.

teraz troche zabawy na liczbach, wykluczanie możliwości, ostatecznie otrzymamy, że ta liczba to 28.

Nie podoba mi się za bardzo to rozwiązanie, takie na palcach, może ktos pokaże lepsze. Pozdrawiam