zbiór liczb rzeczywistych

[heidi44]

Mam takie 5 zadań i nie do końca wiem jak je rozwiązać.
1. Liczba a przy dzieleniu przez 5 daje resztę z dzielenia 3. Wykaż, że kwadrat liczby a powiększony o 1 jest podzielny przez 5.

2. Pewna liczba całkowita przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1, a przy dzieleniu przez 3 resztę 2. Jaką resztę daje ta liczba przy dzieleniu przez 12?

3. Wykaż, że różnica kwadratów dwóch liczb całkowitych nie dzielących się przez 3 jest podzielna przez 3

4. Dane są liczby naturalne x i y, takie, że liczba 6x+11y jest podzielna przez 31. Udowodnij, że liczba x+7y jest również podzielna przez 31.

5. Znajdź wszystkie trzycyfrowe liczby n, dla których liczba \(\displaystyle{ n^{2} +8n-85}\) jest podzielna przez 101.

proszę o czytelne i jak najprostsze rozwiązania, a nie żadne logarytmy itp., które będę musiała pół dnia rozszyfrowywać

[Gacuteek]

1.\(\displaystyle{ a=5n+3}\)

\(\displaystyle{ a^{2}+1=(5n+3)^{2}+1=25n^{2}+30n+9+1=5(5n^{2}+6n+2)}\)

[heidi44]

Tak, właśnie w pierwszym też mi tak wychodzi:D

[Gacuteek]

W takim razie wstaw resztę swoich obliczeń a ja Ci sprawdzę.. bo widzę że na gotowce czekasz..

[heidi44]

Zad. 2 mam tak
\(\displaystyle{ a=4k+1 \backslash \cdot 3}\)
\(\displaystyle{ a=3m+2 \backslash \cdot 4}\)
\(\displaystyle{ 4a=12m+8}\) stronami odejmuje
\(\displaystyle{ 3a=12k+3}\)

\(\displaystyle{ a=12m-12k+5}\)
\(\displaystyle{ a=12(m-k.....)+...}\)
i nie wiem jak to zrobić, żeby z resztą zapisać

może tak:\(\displaystyle{ a=12(m-k-1)+17}\)
-- 27 wrz 2009, o 13:07 --

A za trzy pozostałe zadania to nie za bardzo wiem, jak się zabrać -- 27 wrz 2009, o 14:33 --Wie ktoś co z tymi zadaniami? Na jutro mi to potrzebne

[Gacuteek]

2.
\(\displaystyle{ a=12m-12k+5=12(m-k)+5 \Rightarrow r=5}\)-- niedziela, 27 września 2009, 21:15 --3.\(\displaystyle{ (3n+2)^{2}-(3n+1)^{2}=6n+3=3(2n+1)}\)