Ciekawe równanie

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ p>2}\) bedzie liczba pierwsza, oraz \(\displaystyle{ q=p+8}\) także jest liczba pierwsza.
Znajdz wszystkie (całkowito liczbowe) rozwiazania równania
\(\displaystyle{ x^2=y^4+pq}\)

[Inkwizytor]

Niech \(\displaystyle{ p>2}\) bedzie liczba pierwsza, oraz \(\displaystyle{ q=p+8}\) także jest liczba pierwsza.
Znajdz wszystkie (całkowito liczbowe) rozwiazania równania
\(\displaystyle{ x^2=y^4+pq}\)

Skoro p i q sa pierwsze i różne (q>p) to są względnie pierwsze, stąd ich iloczyn pq ma następujące dzielniki: 1, p, q, pq:
\(\displaystyle{ x^2-y^4=pq \\
(x-y^2)(x+y^2)=pq}\)

1. jeśli \(\displaystyle{ x-y^2=1}\) to \(\displaystyle{ x+y^2=pq}\)
2. jeśli \(\displaystyle{ x-y^2=pq}\) to \(\displaystyle{ x+y^2=1}\)
3. jeśli \(\displaystyle{ x-y^2=p}\) to \(\displaystyle{ x+y^2=q}\)
4. jeśli \(\displaystyle{ x-y^2=q}\) to \(\displaystyle{ x+y^2=p}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ q>p}\) oraz \(\displaystyle{ pq>1}\) a \(\displaystyle{ y^2 \ge 0}\) przypadki 2. i 4. odpadają
Dalej sobie poradzisz. Dany podpunkt 1. lub 3. weź w klamrę i np.: popróbuj metody przeciwnych współczynników

[pawelsuz]

Dalej sobie poradzisz. (...)popróbuj metody przeciwnych współczynników

W kierunku mola brzmi to troche dziwnie:P

[Inkwizytor]

W kierunku mola brzmi to troche dziwnie:P

ke?

[pawelsuz]

Myśle, że mol rozwiązał to zadanie i wrzucił na forum, bo mu się spodobało:>