Witam!
Mam zadanie i nie wiem jak przeprowadzić dowód:
Udowodnij twierdzenie:
-Jeśli liczba dodatnie x jest niewymierna, to \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) też jest liczbą niewymierną.
Moje założenie i teza: \(\displaystyle{ Zalozenie:\\
x \in NW \wedge x>0\\
Teza:\\
\sqrt{x} \in NW \\
D-d\\
?}\)
I jeszcze czy ten dowód jest poprawny:
-Jeśli suma dwóch liczb jest liczbą dodatnią, to przynajmniej jedna z tych liczb jest dodatnia.
I mój dowód: \(\displaystyle{ Zalozenie:\\
a+b>0\\
Teza \\
a>0 \vee b>0\\
D-d\\
a<0 \wedge b<0\\
a+b<0 \hbox{<-Suma dwoch liczb ujemnych jest liczbą ujemna, co jest sprzeczne z zalozeniem}}\)
Dziękuję i pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 14 wrz 2009, o 20:21 przez ptasio, łącznie zmieniany 1 raz.
nie wprost
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sqrt{x}=\frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ NWD(p,q)=1}\)
wówczas \(\displaystyle{ x=\frac{p^2}{q^2}}\) i \(\displaystyle{ NWD(p^2,q^2)=1}\) sprzeczność
\(\displaystyle{ NWD(p,q)=1}\) - to wynika z definicji liczb wymiernych (gwarantuje jednoznaczność, tzn. że mamy tylko ułamki skracalne
\(\displaystyle{ NWD(p^2,q^2)=1}\) - sprzeczność, bo wynika z tego, że \(\displaystyle{ x}\) jest nieskracalnym ułamkiem, czyli jest liczbą wymierną, a zakładaliśmy, że jest niewymierną. A nie ma liczby wymierno-niewymiernej
Dziękuję bardzo za pomoc. Wiedziałem że liczba wymierna to taka liczba, którą da się przedstawić w postaci ułamka......... Tylko zmyliło mnie to \(\displaystyle{ NWD(p,q)=1}\). Czy zawsze trzeba tak zakładać (po to aby ułamek był nieskracalny?)
I jeszcze co o tym dowodzie 2gim? Czy jest on poprawnie wykonany?
