Znajdź wszystkie liczby pierwsze ...

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
visS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 wrz 2009, o 14:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Znajdź wszystkie liczby pierwsze ...

Post autor: visS »

Znajdź wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) i wszystkie naturalne \(\displaystyle{ n}\) takie, że
\(\displaystyle{ p, p + 2, p + 2^n, p + 2^n + 2}\) są wszystkie liczbami pierwszymi.

Do czego doszłam: \(\displaystyle{ p}\) musi być równe \(\displaystyle{ 3}\) lub \(\displaystyle{ 3 | p+1}\), ale to raczej niewiele . Bardzo proszę o pomoc.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Znajdź wszystkie liczby pierwsze ...

Post autor: mol_ksiazkowy »

Jesli p>3 to \(\displaystyle{ p \equiv -1 \ (mod \ 3)}\) i wtedy
gdy n parzyste , to \(\displaystyle{ 2^n+p}\) dzieli sie przez 3
gdy n nieparzyste , to \(\displaystyle{ 2^n+p +2}\) dzieli sie przez 3
visS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 wrz 2009, o 14:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Znajdź wszystkie liczby pierwsze ...

Post autor: visS »

Dzięki. Chciałam jeszcze zapytać jak wykazać z tymi n? Bo wychodzi mi, że na pewno n parzyste nie spełniają warunku, ale w przypadku nieparzystych \(\displaystyle{ 3 | 2^n +1}\), ale to ewidentnie nie jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ n = 5, 7, 9, ...}\). Jak to pokazać?
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Znajdź wszystkie liczby pierwsze ...

Post autor: smigol »

\(\displaystyle{ 2 \equiv -1 \ \ \ (mod \ 3)}\)
\(\displaystyle{ 2^{2k+1} \equiv -1 \ \ \ (mod \ 3)}\)
\(\displaystyle{ 2^{2k+1}+1 \equiv 0 \ \ \(mod \ 3)}\)
visS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 wrz 2009, o 14:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Znajdź wszystkie liczby pierwsze ...

Post autor: visS »

Nie o to mi chodziło. Jeszcze raz... Jak wyznaczyć n naturalne takie, żeby
\(\displaystyle{ 3 + 2^n, 5 + 2^n}\) były liczbami pierwszymi? Nie wiem, może to pytanie jest banalne, ale nie radzę sobie zbytnio z zadaniami z teorii liczb.
ODPOWIEDZ