Są to zadania nr 1 i 10 z tegorocznych przygotowawczych do dla klas drugich, z którymi sobie nijak nie radzę..
Zad. 1
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne, które są 11 razy większe od sumy swoich cyfr.
Zad. 10
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x, y, z spełniające równanie.
\(\displaystyle{ 2x^4+y^4=7z^4}\)
wyznaczenie liczb & diofantyczne
- Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
wyznaczenie liczb & diofantyczne
Ad. 1
Zauważmy, że dla liczb większych od 999 takie liczby nie istnieją. Dla jednocyfrowych też nie.
Przyjmujemy \(\displaystyle{ a,b,c\in\cap \: \mathbb{N}}\)
Dla dwucyfrowych mamy liczbę
\(\displaystyle{ \overline{ab}=10a+b, \: a\neq 0\\10a+b=11(a+b)\\a+10b=0}\)
czyli sprzeczność.
Dla trzycyfrowych
\(\displaystyle{ \overline{abc}=100a+10b+c, \: a\neq 0\\100a+10b+c=11(a+b+c)\\89a=b+10c\\a=\frac{b+10c}{89}}\)
czyli \(\displaystyle{ 89|b+10c}\), ale \(\displaystyle{ b+10c\leq 99 b+10c=89 a=1}\)
Z równania \(\displaystyle{ b+10c=89}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ c=\frac{89-b}{10} \;10|89-b b=9, \: c=8}\)
Jedyną taką liczbą jest 198
Zauważmy, że dla liczb większych od 999 takie liczby nie istnieją. Dla jednocyfrowych też nie.
Przyjmujemy \(\displaystyle{ a,b,c\in\cap \: \mathbb{N}}\)
Dla dwucyfrowych mamy liczbę
\(\displaystyle{ \overline{ab}=10a+b, \: a\neq 0\\10a+b=11(a+b)\\a+10b=0}\)
czyli sprzeczność.
Dla trzycyfrowych
\(\displaystyle{ \overline{abc}=100a+10b+c, \: a\neq 0\\100a+10b+c=11(a+b+c)\\89a=b+10c\\a=\frac{b+10c}{89}}\)
czyli \(\displaystyle{ 89|b+10c}\), ale \(\displaystyle{ b+10c\leq 99 b+10c=89 a=1}\)
Z równania \(\displaystyle{ b+10c=89}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ c=\frac{89-b}{10} \;10|89-b b=9, \: c=8}\)
Jedyną taką liczbą jest 198
Ostatnio zmieniony 8 kwie 2006, o 20:53 przez Lorek, łącznie zmieniany 1 raz.
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
wyznaczenie liczb & diofantyczne
Podstaw sobie \(\displaystyle{ (a,b,c) \equiv (x^2, y^2, z^2)}\), potem \(\displaystyle{ (a',b') \equiv \left(\frac{a}{c}, \frac{b}{c}\right)}\).
Otrzymasz rownanie elipsy, znajdz na niej wszystkie punkty wymierne, sadze, ze to doprowadzi Cie do rozwiazania.
Otrzymasz rownanie elipsy, znajdz na niej wszystkie punkty wymierne, sadze, ze to doprowadzi Cie do rozwiazania.
-
- Użytkownik
- Posty: 81
- Rejestracja: 7 lis 2004, o 14:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 8 razy
wyznaczenie liczb & diofantyczne
robię jak radzisz wychodzi takie równanie elipsy (nawiasem mowiąc pierwszy raz coś takiego knoce:P)
\(\displaystyle{ \frac{a'^2}{(\frac{\sqrt7}{\sqrt2})^2}+\frac{b'^2}{(\sqrt7)^2}=1}\)
wychodzą tylko zera?
\(\displaystyle{ \frac{a'^2}{(\frac{\sqrt7}{\sqrt2})^2}+\frac{b'^2}{(\sqrt7)^2}=1}\)
wychodzą tylko zera?
- Tomasz Rużycki
- Użytkownik
- Posty: 2970
- Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 293 razy
wyznaczenie liczb & diofantyczne
Znajdz sobie jakis punkt wymierny na tej elipsie i poprowadz przez niego sieczna o wymiernym wspolczynniku kierunkowym