wyznaczenie liczb & diofantyczne

[Dooh]

Są to zadania nr 1 i 10 z tegorocznych przygotowawczych do dla klas drugich, z którymi sobie nijak nie radzę..

Zad. 1
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne, które są 11 razy większe od sumy swoich cyfr.

Zad. 10
Znaleźć wszystkie liczby całkowite x, y, z spełniające równanie.
\(\displaystyle{ 2x^4+y^4=7z^4}\)

[Lorek]

Ad. 1
Zauważmy, że dla liczb większych od 999 takie liczby nie istnieją. Dla jednocyfrowych też nie.
Przyjmujemy \(\displaystyle{ a,b,c\in\cap \: \mathbb{N}}\)
Dla dwucyfrowych mamy liczbę
\(\displaystyle{ \overline{ab}=10a+b, \: a\neq 0\\10a+b=11(a+b)\\a+10b=0}\)
czyli sprzeczność.

Dla trzycyfrowych
\(\displaystyle{ \overline{abc}=100a+10b+c, \: a\neq 0\\100a+10b+c=11(a+b+c)\\89a=b+10c\\a=\frac{b+10c}{89}}\)
czyli \(\displaystyle{ 89|b+10c}\), ale \(\displaystyle{ b+10c\leq 99 b+10c=89 a=1}\)
Z równania \(\displaystyle{ b+10c=89}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ c=\frac{89-b}{10} \;10|89-b b=9, \: c=8}\)
Jedyną taką liczbą jest 198

[Dooh]

dzięki, skumałem o co biega zostaje jeszcze to drugie..

[Tomasz Rużycki]

Podstaw sobie \(\displaystyle{ (a,b,c) \equiv (x^2, y^2, z^2)}\), potem \(\displaystyle{ (a',b') \equiv \left(\frac{a}{c}, \frac{b}{c}\right)}\).

Otrzymasz rownanie elipsy, znajdz na niej wszystkie punkty wymierne, sadze, ze to doprowadzi Cie do rozwiazania.

[Dooh]

robię jak radzisz wychodzi takie równanie elipsy (nawiasem mowiąc pierwszy raz coś takiego knoce:P)
\(\displaystyle{ \frac{a'^2}{(\frac{\sqrt7}{\sqrt2})^2}+\frac{b'^2}{(\sqrt7)^2}=1}\)

wychodzą tylko zera?

[Tomasz Rużycki]

Znajdz sobie jakis punkt wymierny na tej elipsie i poprowadz przez niego sieczna o wymiernym wspolczynniku kierunkowym

[g]

wez to modulo 7 stronami...