liczby Fibonacciego

[kamiles]

Jak wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ 5n^2\pm 4}\) jest kwadratem liczby naturalnej, to \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą Fibonacciego?

[piotrzolnacz]

Hej,
Przedstawię swoję rozwiązanie tego problemu.
W dowodzie tym zakładam, że \(\displaystyle{ 0 \not\in \mathbb{N}}\).

Podzielmy to na dwa ciągi:
\(\displaystyle{ a_{n} = 5 \cdot n ^{2}+ 4}\)
\(\displaystyle{ b_{n} = 5 \cdot n ^{2}- 4}\)

Metodą prób i błędów widać, że trzy najmniejsze liczby naturalne, dla których \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej to \(\displaystyle{ 1,3,8}\).
Tak samo dla \(\displaystyle{ b_{n}}\), łatwo można sprawdzić, że trzy najmniejsze liczby naturalne dla których \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej to \(\displaystyle{ 1,2,5}\).

Niech \(\displaystyle{ f \colon D \to \mathbb{N}}\) będzie taką funkcją rosnącą , że \(\displaystyle{ a_{f(n)}}\) jest kwadratem liczby naturalnej dla każdego \(\displaystyle{ n \in D}\) oraz taką, że jeśli \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) to istnieje \(\displaystyle{ m \in D}\) takie, że \(\displaystyle{ f(m) = n}\).
Uściślijmy jeszcze czym jest dziedzina funkcji \(\displaystyle{ f}\): niech dziedzina \(\displaystyle{ D}\) funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) takim, że jeśli przez moc zbioru \(\displaystyle{ D}\) rozumiemy \(\displaystyle{ |D|}\) to \(\displaystyle{ D}\) zawiera wszystkie liczby naturalne od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ |D|}\) włącznie .
Czyli funkcja \(\displaystyle{ f}\) dla kolejnych liczb naturalnych (na razie nie wiemy ile ich jest, wiemy, że są takie conajmniej trzy) generuje nam wszystkie możliwe liczby (w kolejności rosnącej) dla których ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

Analogicznie:
Niech \(\displaystyle{ g \colon M \to \mathbb{N}}\) będzie taką funkcją rosnącą , że \(\displaystyle{ b_{g(n)}}\) jest kwadratem liczby naturalnej dla każdego \(\displaystyle{ n \in M}\) oraz taką, że jeśli \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) to istnieje \(\displaystyle{ m \in M}\) takie, że \(\displaystyle{ g(m) = n}\).
Uściślijmy jeszcze czym jest dziedzina funkcji \(\displaystyle{ g}\): niech dziedzina \(\displaystyle{ M}\) funkcji \(\displaystyle{ g}\) jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) takim, że jeśli przez moc zbioru \(\displaystyle{ M}\) rozumiemy \(\displaystyle{ |M|}\) to \(\displaystyle{ M}\) zawiera wszystkie liczby naturalne od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ |M|}\) włącznie .
Czyli funkcja \(\displaystyle{ g}\) dla kolejnych liczb naturalnych (na razie nie wiemy ile ich jest, wiemy, że są takie conajmniej trzy) generuje nam wszystkie możliwe liczby (w kolejności rosnącej) dla których ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

Wiedząc, że jeśli trzy najmniejsze liczby naturalne dla których ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej to \(\displaystyle{ 1,3,8}\) można wywnioskować, że \(\displaystyle{ f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 8}\).

Analogicznie:
Wiedząc, że jeśli trzy najmniejsze liczby naturalne dla których ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej to \(\displaystyle{ 1,2,5}\) można wywnioskować, że \(\displaystyle{ g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 5}\).

Spróbujmy teraz znaleźć wzór funkcji \(\displaystyle{ f}\).
\(\displaystyle{ m > 3}\) (bo trzy pierwsze wartości znamy) :

\(\displaystyle{ a_{f(m)} = 5 \cdot ({f(m)})^{2} + 4}\)
\(\displaystyle{ a_{f(m)} = (2 \cdot {f(m)})^{2} + ((f(m))^{2} +4)}\)

pierwsze wyrażenie tej sumy ( czyli \(\displaystyle{ (2 \cdot {f(m)})^{2}}\) ) jest kwadratem liczby naturalnej dla wszystkich \(\displaystyle{ f(m)}\) bo z definicji \(\displaystyle{ f(m)}\) jest liczbą naturalną dla wszystkich argumentów w swojej dziedzinie.

Więc jeśli \(\displaystyle{ a_{f(m)}}\) ma być kwadratem liczby naturalnej dla jakichś \(\displaystyle{ m > 3}\) to kwadrat ten będzie większy od \(\displaystyle{ (2 \cdot {f(m)})^{2}}\) bo \(\displaystyle{ (f(m))^{2} +4 > 0}\).
Czyli :
\(\displaystyle{ a_{f(m)} = (2 \cdot f(m) + k)^{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\).
Czyli \(\displaystyle{ \sqrt{5 \cdot (f(m))^{2} + 4} = 2 \cdot f(m) + k}\)

Wychodzi nam z tego, że \(\displaystyle{ (f(m))^{2} +4 = 2 \cdot 2 \cdot f(m) \cdot k + k^{2}}\).
Rozwiązujemy równanie kwadratowe pamiętając, że \(\displaystyle{ m > 3}\) - czyli \(\displaystyle{ f(m) > 8}\) bo \(\displaystyle{ f(3) = 8}\).
Otrzymujemy: \(\displaystyle{ f(m) = 2 \cdot k + \sqrt{5 \cdot k^{2} - 4} }\) (drugie rozwiązanie tego równania odpada ze względu na powyższe warunki.).

Wygląda na to, że \(\displaystyle{ f(m)}\) jest liczbą naturalną jeśli istnieje \(\displaystyle{ h \in M}\) takie, że \(\displaystyle{ g(h) = k }\) zatem:

\(\displaystyle{ f(m) = 2 \cdot g(h) + \sqrt{5 \cdot (g(h))^{2} - 4} }\) dla takiego \(\displaystyle{ h}\), że \(\displaystyle{ f(m) > 8}\)

W analogiczny sposób można dojść do wniosku, że dla \(\displaystyle{ g(m) > 5}\):
\(\displaystyle{ g(m) = 2 \cdot f(h) + \sqrt{5 \cdot (f(h))^{2} + 4} }\) dla takiego \(\displaystyle{ h}\), że \(\displaystyle{ g(m) > 8}\)

Najmniejszą wartością funkcji \(\displaystyle{ g}\) dla, której \(\displaystyle{ f(m) > 8}\) jest \(\displaystyle{ 5}\) zatem:
\(\displaystyle{ f(4) = 2 \cdot 5 + \sqrt{ 5 \cdot 25 - 4} = 10 + 11 = 21 }\). Czyli ogólnie \(\displaystyle{ f(m) = 2 \cdot g(m-1) + \sqrt{5 \cdot (g(m-1))^{2} - 4}}\) dla \(\displaystyle{ m > 3}\).

Analogicznie:
Najmniejszą wartością funkcji \(\displaystyle{ f}\) dla, której \(\displaystyle{ g(m) > 5}\) jest \(\displaystyle{ 3}\) zatem:
\(\displaystyle{ g(4) = 2 \cdot 3 + \sqrt{ 5 \cdot 9 + 4} = 6 + 7 = 13 }\). Czyli ogólnie \(\displaystyle{ g(m) = 2 \cdot f(m-2) + \sqrt{5 \cdot (f(m-2))^{2} + 4}}\) dla \(\displaystyle{ m > 3}\).

Przed rozwiązaniem równania kwadratowego założyliśmy, że \(\displaystyle{ a_{f(m)} = (2 \cdot f(m) + k)^{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ k = g(m-1)}\) czyli \(\displaystyle{ \sqrt{ 5 \cdot (f(m))^{2} + 4} = 2f(m) + g(m-1)}\).
Dla \(\displaystyle{ g}\) założyliśmy analogicznie (chociaż nie przytaczałem tutaj jak to rozwiązać bo jest to analogiczne do tego jak w przypadku gdy szukaliśmy \(\displaystyle{ f(m)}\)): \(\displaystyle{ b_{g(m)} = (2 \cdot g(m) + k)^{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ k = f(m-2)}\). Czyli \(\displaystyle{ \sqrt{ 5 \cdot (g(m))^{2} - 4} = 2g(m) + f(m-2)}\).

Czyli:

\(\displaystyle{ f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 8, f(m) = 4 \cdot g(m-1) + f(m-3)}\)
\(\displaystyle{ g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 5, g(m) = 4 \cdot f(m-2) + g(m-3)}\).

Jawny wzór ciągu fibonacciego to: \(\displaystyle{ h(n) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n}}\).
Stąd \(\displaystyle{ h(2n) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{2n} - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{2n}}\) oraz \(\displaystyle{ h(2n - 1) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{2n - 1} - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{2n - 1}}\)
Dla \(\displaystyle{ n > 3}\) po uproszczeniu wyrażenia (to tylko trochę algebry, nie chce mi się tutaj tego wszystkiego pisać) \(\displaystyle{ 4 \cdot h(2\cdot(n-1) - 1) + h(2 \cdot (n-3))}\) otrzymamy \(\displaystyle{ h(2n)}\).
Z kolei po uproszczeniu wyrażenia \(\displaystyle{ 4 \cdot h(2\cdot(n-2)) + h(2 \cdot (n-3) - 1)}\) otrzymamy \(\displaystyle{ h(2n - 1)}\).
Zauważmy też, że \(\displaystyle{ h(2 \cdot 1) = 1, h(2 \cdot 2) = 3, h(2 \cdot 3) = 8}\) oraz \(\displaystyle{ h(2 \cdot 1 - 1) = 1, h(2 \cdot 2 - 1) = 2, h(2 \cdot 3 - 1) = 5}\).

Między funkcjami \(\displaystyle{ h(2m)}\) oraz \(\displaystyle{ h(2m - 1)}\) dla \(\displaystyle{ m > 3}\) istnieje taka sama relacja jak między funkcjami \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) dla argumentów większy od \(\displaystyle{ 3}\). Dodatkowo \(\displaystyle{ h(2m) = f(m)}\) dla \(\displaystyle{ m < 4}\) i \(\displaystyle{ h(2m - 1) = g(m)}\) dla \(\displaystyle{ m < 4}\) co oznacza, że funkcją \(\displaystyle{ f}\) generującą wszystkie argumenty ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) dla których \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej jest ciąg fibonacciego dla parzystych liczb naturalnych z kolei funkcją \(\displaystyle{ g}\) generującą liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) dla których ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej jest ciąg fibonacciego dla nieparzystych liczb naturalnych.

Koniec dowodu.
Poproszę o sprawdzenie : )

[matmatmm]

Niech \(\displaystyle{ f \colon D \to \mathbb{N}}\) będzie taką funkcją rosnącą , że \(\displaystyle{ a_{f(n)}}\) jest kwadratem liczby naturalnej dla każdego \(\displaystyle{ n \in D}\) oraz taką, że jeśli \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) to istnieje \(\displaystyle{ m \in D}\) takie, że \(\displaystyle{ f(m) = n}\).
Uściślijmy jeszcze czym jest dziedzina funkcji \(\displaystyle{ f}\): niech dziedzina \(\displaystyle{ D}\) funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) takim, że jeśli przez moc zbioru \(\displaystyle{ D}\) rozumiemy \(\displaystyle{ |D|}\) to \(\displaystyle{ D}\) zawiera wszystkie liczby naturalne od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ |D|}\) włącznie .
Czyli funkcja \(\displaystyle{ f}\) dla kolejnych liczb naturalnych (na razie nie wiemy ile ich jest, wiemy, że są takie conajmniej trzy) generuje nam wszystkie możliwe liczby (w kolejności rosnącej) dla których ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

Zrozumiałem ideę, ale opis ten pozostawia wiele do życzenia. Ja bym napisał:

Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ H}\) tych \(\displaystyle{ k\in\NN}\), dla których \(\displaystyle{ a_k}\) jest kwadratem liczby naturalnej. Jeśli zbiór \(\displaystyle{ H}\) jest skończony mocy \(\displaystyle{ p}\), to niech \(\displaystyle{ f:\{1,\ldots,p\}\rightarrow H}\) będzie ściśle rosnącą bijekcją (istnieje dokładnie jedna taka funkcja). Jeśli zbiór \(\displaystyle{ H}\) jest nieskończony, to niech \(\displaystyle{ f:\NN\rightarrow H}\) będzie (również jedyną) ściśle rosnącą bijekcją.

Analogicznie:
Niech \(\displaystyle{ g \colon M \to \mathbb{N}}\) będzie taką funkcją rosnącą , że \(\displaystyle{ b_{g(n)}}\) jest kwadratem liczby naturalnej dla każdego \(\displaystyle{ n \in M}\) oraz taką, że jeśli \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) to istnieje \(\displaystyle{ m \in M}\) takie, że \(\displaystyle{ g(m) = n}\).
Uściślijmy jeszcze czym jest dziedzina funkcji \(\displaystyle{ g}\): niech dziedzina \(\displaystyle{ M}\) funkcji \(\displaystyle{ g}\) jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) takim, że jeśli przez moc zbioru \(\displaystyle{ M}\) rozumiemy \(\displaystyle{ |M|}\) to \(\displaystyle{ M}\) zawiera wszystkie liczby naturalne od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ |M|}\) włącznie .
Czyli funkcja \(\displaystyle{ g}\) dla kolejnych liczb naturalnych (na razie nie wiemy ile ich jest, wiemy, że są takie conajmniej trzy) generuje nam wszystkie możliwe liczby (w kolejności rosnącej) dla których ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

Uwaga jak wyżej.

Spróbujmy teraz znaleźć wzór funkcji \(\displaystyle{ f}\).
\(\displaystyle{ m > 3}\) (bo trzy pierwsze wartości znamy) :

\(\displaystyle{ a_{f(m)} = 5 \cdot ({f(m)})^{2} + 4}\)
\(\displaystyle{ a_{f(m)} = (2 \cdot {f(m)})^{2} + ((f(m))^{2} +4)}\)

pierwsze wyrażenie tej sumy ( czyli \(\displaystyle{ (2 \cdot {f(m)})^{2}}\) ) jest kwadratem liczby naturalnej dla wszystkich \(\displaystyle{ f(m)}\) bo z definicji \(\displaystyle{ f(m)}\) jest liczbą naturalną dla wszystkich argumentów w swojej dziedzinie.

Więc jeśli \(\displaystyle{ a_{f(m)}}\) ma być kwadratem liczby naturalnej dla jakichś \(\displaystyle{ m > 3}\) to kwadrat ten będzie większy od \(\displaystyle{ (2 \cdot {f(m)})^{2}}\) bo \(\displaystyle{ (f(m))^{2} +4 > 0}\).
Czyli :
\(\displaystyle{ a_{f(m)} = (2 \cdot f(m) + k)^{2}}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\).
Czyli \(\displaystyle{ \sqrt{5 \cdot (f(m))^{2} + 4} = 2 \cdot f(m) + k}\)

Wychodzi nam z tego, że \(\displaystyle{ (f(m))^{2} +4 = 2 \cdot 2 \cdot f(m) \cdot k + k^{2}}\).
Rozwiązujemy równanie kwadratowe pamiętając, że \(\displaystyle{ m > 3}\) - czyli \(\displaystyle{ f(m) > 8}\) bo \(\displaystyle{ f(3) = 8}\).
Otrzymujemy: \(\displaystyle{ f(m) = 2 \cdot k + \sqrt{5 \cdot k^{2} - 4} }\) (drugie rozwiązanie tego równania odpada ze względu na powyższe warunki.).

Wygląda na to, że \(\displaystyle{ f(m)}\) jest liczbą naturalną jeśli istnieje \(\displaystyle{ h \in M}\) takie, że \(\displaystyle{ g(h) = k }\) zatem:

\(\displaystyle{ f(m) = 2 \cdot g(h) + \sqrt{5 \cdot (g(h))^{2} - 4} }\) dla takiego \(\displaystyle{ h}\), że \(\displaystyle{ f(m) > 8}\)

Tutaj w zasadzie zostało udowodnione, że dla każdego \(\displaystyle{ m>3, m\in\NN}\) (zakładając, że \(\displaystyle{ f(m)}\) jest w ogóle określone) istnieje \(\displaystyle{ h\in\NN}\) takie, że \(\displaystyle{ f(m) = 2 \cdot g(h) + \sqrt{5 \cdot g(h)^{2} - 4} }\)
i przy tym
\(\displaystyle{ g(h)=-2f(m)+\sqrt{5f(m)^2+4}}\)

W analogiczny sposób można dojść do wniosku, że dla \(\displaystyle{ g(m) > 5}\):
\(\displaystyle{ g(m) = 2 \cdot f(h) + \sqrt{5 \cdot (f(h))^{2} + 4} }\) dla takiego \(\displaystyle{ h}\), że \(\displaystyle{ g(m) > 8}\)

Przeliczyłem i rzeczywiście dla \(\displaystyle{ m>3,m\in\NN}\) (znów zakładając, że \(\displaystyle{ g(m)}\) jest określone) istnieje \(\displaystyle{ h\in\NN}\) takie, że \(\displaystyle{ g(m) = 2 \cdot f(h) + \sqrt{5 \cdot f(h)^{2} + 4}}\)
i przy tym
\(\displaystyle{ f(h)=-2g(m)+\sqrt{5g(m)^2-4}}\)

Najmniejszą wartością funkcji \(\displaystyle{ g}\) dla, której \(\displaystyle{ f(m) > 8}\) jest \(\displaystyle{ 5}\) zatem:
\(\displaystyle{ f(4) = 2 \cdot 5 + \sqrt{ 5 \cdot 25 - 4} = 10 + 11 = 21 }\). Czyli ogólnie \(\displaystyle{ f(m) = 2 \cdot g(m-1) + \sqrt{5 \cdot (g(m-1))^{2} - 4}}\) dla \(\displaystyle{ m > 3}\).

A tutaj albo jest jakaś luka albo czegoś nie rozumiem. Zgodnie z przyjętymi przez nas definicjami

\(\displaystyle{ f(4)=\min\{n>8: 5n^2+4 \text{ jest kwadratem l. naturalnej}\}}\)
o ile ten zbiór jest niepusty.

Wiemy także, że \(\displaystyle{ f(4)=2 \cdot g(h) + \sqrt{5 \cdot g(h)^{2} - 4}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ h\in\NN}\)(o ile \(\displaystyle{ f(4)}\) jest określone). Skąd wniosek, że \(\displaystyle{ f(4)}\) jest określone oraz \(\displaystyle{ h=3}\) ?


Nie rozumiem też napisu

Najmniejszą wartością funkcji \(\displaystyle{ g}\) dla, której \(\displaystyle{ f(m) > 8}\) jest \(\displaystyle{ 5}\)

i kilku podobnych, które pojawiają się w dowodzie.

Reszty nie sprawdzałem.

[piotrzolnacz]

Znamy pierwsze trzy wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) i są to \(\displaystyle{ 1,3,8}\). Założyliśmy też, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją rosnącą. Znamy również trzy pierwsze wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\) i są to \(\displaystyle{ 1,2,5}\) i założyliśmy też, że \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją rosnącą.
W pierwszym równaniu, rozważaliśmy przypadek gdy wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest większa od \(\displaystyle{ 8}\) dlatego, że \(\displaystyle{ 8}\) to ostatnia wartość jaką znamy i \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją rosnącą. Wyrażenie \(\displaystyle{ 2 \cdot k + \sqrt{5 \cdot k^{2} - 4}}\) również rośnie. Zatem kolejną wartością funkcji \(\displaystyle{ f}\) (która rośnie) musi być najmniejsza wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) dla której \(\displaystyle{ f(4) > 8}\) i tą wartością funkcji \(\displaystyle{ g}\) (która też rośnie) jest \(\displaystyle{ 5}\). W ten sposób otrzymamy wszystkie wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) i analogicznie wszystkie wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\)

Dodano po 5 minutach 47 sekundach:
Dla \(\displaystyle{ f(4)}\) wybieramy \(\displaystyle{ g(2)}\), dla \(\displaystyle{ f(5)}\) wybieramy g(3) itd. czyli w ogólności dla \(\displaystyle{ f(m), m > 3}\) wybieramy \(\displaystyle{ g(m-2)}\) i analogicznie dla \(\displaystyle{ g}\), po prostu nie ma innej możliwości jeśli \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są rosnące.

[matmatmm]

Czy nie korzystasz czasem z takiej własności, która według mnie wymaga dowodu, o ile jest w ogóle prawdziwa?

Dla każdego \(\displaystyle{ h\in\NN}\) istnieje \(\displaystyle{ m\in\NN}\) takie, że \(\displaystyle{ f(m)=2\cdot g(h)+\sqrt{5g(h)^2-4}}\)

czyli innymi słowy (w połączeniu z tym co wiemy) zbiory wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) oraz funkcji \(\displaystyle{ h\mapsto 2\cdot g(h)+\sqrt{5g(h)^2-4}}\) się pokrywają (pomijając w odpowiedni sposób początkowe wyrazy)?

Mam wrażenie, że mając coś takiego byłbym w stanie uzupełnić szczegóły. Możliwe też, że czegoś nie widzę i to wynika jakoś z Twojego rozumowania.

Znamy pierwsze trzy wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) i są to \(\displaystyle{ 1,3,8}\). Założyliśmy też, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją rosnącą. Znamy również trzy pierwsze wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\) i są to \(\displaystyle{ 1,2,5}\) i założyliśmy też, że \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją rosnącą.
W pierwszym równaniu, rozważaliśmy przypadek gdy wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest większa od \(\displaystyle{ 8}\) dlatego, że \(\displaystyle{ 8}\) to ostatnia wartość jaką znamy i \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją rosnącą. Wyrażenie \(\displaystyle{ 2 \cdot k + \sqrt{5 \cdot k^{2} - 4}}\) również rośnie. Zatem kolejną wartością funkcji \(\displaystyle{ f}\) (która rośnie) musi być najmniejsza wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) dla której \(\displaystyle{ f(4) > 8}\) i tą wartością funkcji \(\displaystyle{ g}\) (która też rośnie) jest \(\displaystyle{ 5}\). W ten sposób otrzymamy wszystkie wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) i analogicznie wszystkie wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\)

Czerwony fragment jest dla mnie bezsensowny. Z wcześniejszymi obserwacjami w zasadzie się zgadzam tyle, że dla mnie z tego jeszcze nie wynika to o co pytałem.

[piotrzolnacz]

Nie, jeszcze raz.

Z definicji \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją rosnącą i z definicji wszystkie wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) to wszystkie możliwe \(\displaystyle{ n}\) dla których \(\displaystyle{ 5n^{2} + 4}\) jest kwadratem liczby naturalnej. Tak samo z definicji \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją rosnącą i z definicji wszystkie wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\) to wszystkie możliwe \(\displaystyle{ n}\) dla których \(\displaystyle{ 5n^{4} - 4}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

W pierwszym równaniu wyszło nam, że jeśli \(\displaystyle{ m > 3}\) to \(\displaystyle{ f(m) = 2k + \sqrt{5k^{2} - 4}}\) dla jakiegoś \(\displaystyle{ k > 0}\).
Z definicji wszystkie wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) są liczbami naturalnymi stąd wiadomo, że \(\displaystyle{ k}\) jest jedną z wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\) (bo tylko dla nich \(\displaystyle{ \sqrt{5n^{2} - 4}}\) jest liczbą naturalną).

Jeśli do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\) należą jakieś liczby większe od \(\displaystyle{ 3}\) to dla każdej z nich istnieje odpowiednia wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) w porządku rosnącym (bo \(\displaystyle{ f,g,2f(m) + \sqrt{5(f(m))^{2} - 4}}\) rosną. Jeśli powiedzmy dla \(\displaystyle{ f(m)}\) tą wartością jest \(\displaystyle{ g(h)}\) to dla \(\displaystyle{ f(m + 1)}\) tą wartością będzie \(\displaystyle{ g(h+1)}\) bo nie ma innej możliwości. Z definicji nie ma żadnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) pomiędzy \(\displaystyle{ g(h)}\) i \(\displaystyle{ g(h+1)}\) dla których ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

Skąd wiemy, że do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\) należą jakieś liczby większe od \(\displaystyle{ 3}\) ? bo możemy sprawdzić, że \(\displaystyle{ g(2)}\) jest najmniejszą liczbą dla której \(\displaystyle{ f(m)}\) jest większe od 8 (czyli \(\displaystyle{ f(3)}\)).

Sorry, że to trochę nieformalne ale dawno nie miałem do czynienia z matematyką ale wiem, że moje rozumowanie jest poprawne.

rozumiesz ?

Dodano po 4 minutach 27 sekundach:
Jeśli wiemy dla ktorej wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest większa od \(\displaystyle{ 8}\) to możemy wyprowadzić wzór funkcji \(\displaystyle{ f}\) bo każda kolejna wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) będzie generowana dla kolejnych argumentów funkcji \(\displaystyle{ g}\) dla których \(\displaystyle{ f}\) jest większe od 8. Po prostu nie ma innej możliwości, przez własności funkcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\), które założyliśmy na początku.

Dodano po 3 minutach 18 sekundach:
Czego nie rozumiesz konkretnie ?

[matmatmm]

Okej, próbujesz mi to wytłumaczyć opisowo, a ja próbuję to przełożyć na ścisły język matematyki. Na przykład taki napis

możemy sprawdzić, że \(\displaystyle{ g(2)}\) jest najmniejszą liczbą dla której \(\displaystyle{ f(m)}\) jest większe od 8 (czyli \(\displaystyle{ f(3)}\)).

jest dla mnie niezrozumiały. Widzisz, muszę się domyślać, że zapewne miałeś na myśli "\(\displaystyle{ 2}\) jest najmniejszą liczbą \(\displaystyle{ h}\) taką, że \(\displaystyle{ 2g(h)+\sqrt{5g(h)^2-4}>8}\)" (swoją drogą to \(\displaystyle{ 3}\) jest najmniejszą taką liczbą). Dlatego zapisuje sobie wszystkie własności po swojemu, próbuję wywnioskować to co Ty i widzę pewne luki.

Z definicji \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją rosnącą i z definicji wszystkie wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) to wszystkie możliwe \(\displaystyle{ n}\) dla których \(\displaystyle{ 5n^{2} + 4}\) jest kwadratem liczby naturalnej. Tak samo z definicji \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją rosnącą i z definicji wszystkie wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\) to wszystkie możliwe \(\displaystyle{ n}\) dla których \(\displaystyle{ 5n^{4} - 4}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

W pierwszym równaniu wyszło nam, że jeśli \(\displaystyle{ m > 3}\) to \(\displaystyle{ f(m) = 2k + \sqrt{5k^{2} - 4}}\) dla jakiegoś \(\displaystyle{ k > 0}\).
Z definicji wszystkie wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) są liczbami naturalnymi stąd wiadomo, że \(\displaystyle{ k}\) jest jedną z wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\) (bo tylko dla nich \(\displaystyle{ \sqrt{5n^{2} - 4}}\) jest liczbą naturalną).

Tutaj z wszystkim się zgadzam i wszystko jest jasne.

Jeśli do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\) należą jakieś liczby większe od \(\displaystyle{ 3}\) to dla każdej z nich istnieje odpowiednia wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) w porządku rosnącym (bo \(\displaystyle{ f,g,2f(m) + \sqrt{5(f(m))^{2} - 4}}\) rosną.

Czyli dokładnie wiemy, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ m}\) większej od \(\displaystyle{ 3}\) z dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\) istnieje dokładnie jedna liczba \(\displaystyle{ h}\) w dziedzinie funkcji \(\displaystyle{ g}\) taka, że \(\displaystyle{ f(m)=2g(h)+\sqrt{5g(h)^2-4}}\). Brakuje mi obserwacji "odwrotnej": dla każdej liczby \(\displaystyle{ h}\) w dziedzinie funkcji \(\displaystyle{ g}\): \(\displaystyle{ 2g(h)+\sqrt{5g(h)^2-4}}\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ f}\).

Jeśli powiedzmy dla \(\displaystyle{ f(m)}\) tą wartością jest \(\displaystyle{ g(h)}\) to dla \(\displaystyle{ f(m + 1)}\) tą wartością będzie \(\displaystyle{ g(h+1)}\) bo nie ma innej możliwości. Z definicji nie ma żadnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) pomiędzy \(\displaystyle{ g(h)}\) i \(\displaystyle{ g(h+1)}\) dla których ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

Czerwone zdanie dla mnie wymaga uzasadnienia. Nie wynika z poprzedniego, ani następnego (które skądinąd jest poprawne). Myślę, że da się to pokazać korzystając ze wspomnianej własności "odwrotnej".

[janusz47]

\(\displaystyle{ \rightarrow }\)
Z tożsamości Cassiniego

\(\displaystyle{ (-1)^{r} + F^2_{r} = F_{r-1}\cdot F_{r+1} \ \ (1) }\)

Z relacji równości pomiędzy liczbą Lucasa a liczbami Fibonacci

\(\displaystyle{ L_{r} = F_{r+1} + F_{r-1} \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ (1), (2) }\)

\(\displaystyle{ L^2_{r} -4\cdot [ (-1)^{r} + F^2_{r} ] = (F_{r+1} + F_{r-1})^2 - 4 F_{r-1}\cdot F_{r+1} = (F_{r+1}- F_{r-1})^2 = F^2_{r} }\)

\(\displaystyle{ L^2_{r} = 5\cdot F^2_{r} + 4\cdot (-1)^{r} }\)

\(\displaystyle{ \leftarrow }\)
\(\displaystyle{ 5n^2 \pm 4 = m^2 }\)

\(\displaystyle{ m^2 - 5n^2 = \pm 4 }\)

\(\displaystyle{ \frac{m+n\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{m-n\sqrt{5}}{2} = \pm 1 }\)

Liczby \(\displaystyle{ m, n }\) mają ten sam parytet (obie są parzyste lub nieparzyste).

Liczby \(\displaystyle{ \frac{m+n\sqrt{5}}{2}, \frac{m-n\sqrt{5}}{2} }\) są całkowite w ciele \(\displaystyle{ Q(\sqrt{5}) = \{ x+y\cdot \sqrt{5}: \ \ x, y \in Q \}. }\)

Ponieważ ich iloczyn jest równy \(\displaystyle{ \pm 1, }\) więc są obie są jednostkami w tym zbiorze.

Można, udowodnić, że również jednostkami w ciele \(\displaystyle{ Q(\sqrt{5}) }\) są liczby postaci \(\displaystyle{ \pm \alpha^{n}, \pm \alpha ^{-n} }\) oraz, że dla liczb Fibonacci \(\displaystyle{ F_{n} }\) oraz Lucasa \(\displaystyle{ L_{n} }\) prawdziwa jest równość

\(\displaystyle{ \alpha^{n} = \frac{L_{n} + F_{n}\sqrt{5}}{2} }\).

z której wynika, że \(\displaystyle{ n = F_{n}. }\)

\(\displaystyle{ \Box }\)

Na przykład patrz:

Thomas Koshy, FIBONACCI AND LUCAS NUMBERS WITH APPLICATIONS, A Wiley-Interscience Publication JOHN WILEY & SONS, INC. 2001.

[piotrzolnacz]

\(\displaystyle{ \rightarrow }\)
Z tożsamości Cassiniego

\(\displaystyle{ (-1)^{r} + F^2_{r} = F_{r-1}\cdot F_{r+1} \ \ (1) }\)

Z relacji równości pomiędzy liczbą Lucasa a liczbami Fibonacci

\(\displaystyle{ L_{r} = F_{r+1} + F_{r-1} \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ (1), (2) }\)

\(\displaystyle{ L^2_{r} -4\cdot [ (-1)^{r} + F^2_{r} ] = (F_{r+1} + F_{r-1})^2 - 4 F_{r-1}\cdot F_{r+1} = (F_{r+1}- F_{r-1})^2 = F^2_{r} }\)

\(\displaystyle{ L^2_{r} = 5\cdot F^2_{r} + 4\cdot (-1)^{r} }\)

\(\displaystyle{ \leftarrow }\)
\(\displaystyle{ 5n^2 \pm 4 = m^2 }\)

\(\displaystyle{ m^2 - 5n^2 = \pm 4 }\)

\(\displaystyle{ \frac{m+n\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{m-n\sqrt{5}}{2} = \pm 1 }\)

Liczby \(\displaystyle{ m, n }\) mają ten sam parytet (obie są parzyste lub nieparzyste).

Liczby \(\displaystyle{ \frac{m+n\sqrt{5}}{2}, \frac{m-n\sqrt{5}}{2} }\) są całkowite w ciele \(\displaystyle{ Q(\sqrt{5}) = \{ x+y\cdot \sqrt{5}: \ \ x, y \in Q \}. }\)

Ponieważ ich iloczyn jest równy \(\displaystyle{ \pm 1, }\) więc są obie są jednostkami w tym zbiorze.

Można, udowodnić, że również jednostkami w ciele \(\displaystyle{ Q(\sqrt{5}) }\) są liczby postaci \(\displaystyle{ \pm \alpha^{n}, \pm \alpha ^{-n} }\) oraz, że dla liczb Fibonacci \(\displaystyle{ F_{n} }\) oraz Lucasa \(\displaystyle{ L_{n} }\) prawdziwa jest równość

\(\displaystyle{ \alpha^{n} = \frac{L_{n} + F_{n}\sqrt{5}}{2} }\).

z której wynika, że \(\displaystyle{ n = F_{n}. }\)

\(\displaystyle{ \Box }\)

Patrz na przykład

Thomas Koshy FIBONACCI AND LUCAS NUMBERS WITH APPLICATIONS A Wiley-Interscience Publication JOHN WILEY & SONS, INC. 2001.

Widziałem ten dowód, to jedyny dowód tego twierdzenia, który znalazłem (poza moim).

Dodano po 10 minutach 19 sekundach:

Okej, próbujesz mi to wytłumaczyć opisowo, a ja próbuję to przełożyć na ścisły język matematyki. Na przykład taki napis

możemy sprawdzić, że \(\displaystyle{ g(2)}\) jest najmniejszą liczbą dla której \(\displaystyle{ f(m)}\) jest większe od 8 (czyli \(\displaystyle{ f(3)}\)).

jest dla mnie niezrozumiały. Widzisz, muszę się domyślać, że zapewne miałeś na myśli "\(\displaystyle{ 2}\) jest najmniejszą liczbą \(\displaystyle{ h}\) taką, że \(\displaystyle{ 2g(h)+\sqrt{5g(h)^2-4}>8}\)" (swoją drogą to \(\displaystyle{ 3}\) jest najmniejszą taką liczbą). Dlatego zapisuje sobie wszystkie własności po swojemu, próbuję wywnioskować to co Ty i widzę pewne luki.

Z definicji \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją rosnącą i z definicji wszystkie wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) to wszystkie możliwe \(\displaystyle{ n}\) dla których \(\displaystyle{ 5n^{2} + 4}\) jest kwadratem liczby naturalnej. Tak samo z definicji \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją rosnącą i z definicji wszystkie wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\) to wszystkie możliwe \(\displaystyle{ n}\) dla których \(\displaystyle{ 5n^{4} - 4}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

W pierwszym równaniu wyszło nam, że jeśli \(\displaystyle{ m > 3}\) to \(\displaystyle{ f(m) = 2k + \sqrt{5k^{2} - 4}}\) dla jakiegoś \(\displaystyle{ k > 0}\).
Z definicji wszystkie wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) są liczbami naturalnymi stąd wiadomo, że \(\displaystyle{ k}\) jest jedną z wartości funkcji \(\displaystyle{ g}\) (bo tylko dla nich \(\displaystyle{ \sqrt{5n^{2} - 4}}\) jest liczbą naturalną).

Tutaj z wszystkim się zgadzam i wszystko jest jasne.

Jeśli do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\) należą jakieś liczby większe od \(\displaystyle{ 3}\) to dla każdej z nich istnieje odpowiednia wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) w porządku rosnącym (bo \(\displaystyle{ f,g,2f(m) + \sqrt{5(f(m))^{2} - 4}}\) rosną.

Czyli dokładnie wiemy, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ m}\) większej od \(\displaystyle{ 3}\) z dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\) istnieje dokładnie jedna liczba \(\displaystyle{ h}\) w dziedzinie funkcji \(\displaystyle{ g}\) taka, że \(\displaystyle{ f(m)=2g(h)+\sqrt{5g(h)^2-4}}\). Brakuje mi obserwacji "odwrotnej": dla każdej liczby \(\displaystyle{ h}\) w dziedzinie funkcji \(\displaystyle{ g}\): \(\displaystyle{ 2g(h)+\sqrt{5g(h)^2-4}}\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ f}\).

Jeśli powiedzmy dla \(\displaystyle{ f(m)}\) tą wartością jest \(\displaystyle{ g(h)}\) to dla \(\displaystyle{ f(m + 1)}\) tą wartością będzie \(\displaystyle{ g(h+1)}\) bo nie ma innej możliwości. Z definicji nie ma żadnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) pomiędzy \(\displaystyle{ g(h)}\) i \(\displaystyle{ g(h+1)}\) dla których ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

Czerwone zdanie dla mnie wymaga uzasadnienia. Nie wynika z poprzedniego, ani następnego (które skądinąd jest poprawne). Myślę, że da się to pokazać korzystając ze wspomnianej własności "odwrotnej".

Załóżmy, że istnieje \(\displaystyle{ h}\) należące do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ g}\) takie, że dla wartości \(\displaystyle{ 2 \cdot g(h) + \sqrt{ 5 \cdot (g(h))^{2} -4} >= 8}\) nie istnieje \(\displaystyle{ m > 3}\) należące do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\), dla którego zachodzi równość \(\displaystyle{ f(m) = 2 \cdot g(h) + \sqrt{ 5 \cdot (g(h))^{2} -4}}\). Oznacza to, że mamy nową liczbę (większą od 8) dla której ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej. Otrzymujemy sprzeczność ponieważ z definicji funkcji \(\displaystyle{ f}\) wynika, że dla każdego argumentu z jej dziedziny ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej oraz , że jeśli \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej to istnieje \(\displaystyle{ m}\) należące do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\) takie, że \(\displaystyle{ f(m) = n}\)

[matmatmm]

Załóżmy, że istnieje \(\displaystyle{ h}\) należące do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ g}\) takie, że dla wartości \(\displaystyle{ 2 \cdot g(h) + \sqrt{ 5 \cdot (g(h))^{2} -4} >= 8}\) nie istnieje \(\displaystyle{ m > 3}\) należące do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\), dla którego zachodzi równość \(\displaystyle{ f(m) = 2 \cdot g(h) + \sqrt{ 5 \cdot (g(h))^{2} -4}}\). Oznacza to, że mamy nową liczbę (większą od 8) dla której ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej . Otrzymujemy sprzeczność ponieważ z definicji funkcji \(\displaystyle{ f}\) wynika, że dla każdego argumentu z jej dziedziny ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej oraz , że jeśli \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej to istnieje \(\displaystyle{ m}\) należące do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f}\) takie, że \(\displaystyle{ f(m) = n}\)

Dopytując o niebieski fragment, dlaczego \(\displaystyle{ n=2g(h)+\sqrt{5g(h)^2-4}}\) jest liczbą taką, że \(\displaystyle{ 5n^2+4}\) jest kwadratem liczby naturalnej? Mam wrażenie, że nigdzie nie pojawił się dowód tej własności.

[piotrzolnacz]

\(\displaystyle{ 5 \cdot (2 \cdot g(h) + \sqrt{5 \cdot (g(h))^{2} - 4})^{2} + 4 = }\)
\(\displaystyle{ (2 \cdot (2 \cdot g(h) + \sqrt{5 \cdot (g(h))^{2} - 4}))^{2} + (2 \cdot g(h) + \sqrt{5 \cdot (g(h))^{2} - 4})^{2} + 4 = }\)
\(\displaystyle{ (2 \cdot (2 \cdot g(h) + \sqrt{5 \cdot (g(h))^{2} - 4}))^{2} + 4 \cdot (g(h))^{2} + 4 \cdot g(h) \cdot \sqrt{5 \cdot (g(h))^{2} - 4} + 5 \cdot (g(h))^{2} - 4 + 4 = }\)
\(\displaystyle{ (2 \cdot (2 \cdot g(h) + \sqrt{5 \cdot (g(h))^{2} - 4}))^{2} + 9 \cdot (g(h))^{2} + 4 \cdot g(h) \cdot \sqrt{5 \cdot (g(h))^{2} - 4} = }\)
\(\displaystyle{ (2 \cdot (2 \cdot g(h) + \sqrt{5 \cdot (g(h))^{2} - 4}))^{2} + 8 \cdot (g(h))^{2} + 4 \cdot g(h) \cdot \sqrt{5 \cdot (g(h))^{2} - 4} + (g(h))^{2} = }\)
\(\displaystyle{ (2 \cdot (2 \cdot g(h) + \sqrt{5 \cdot (g(h))^{2} - 4}))^{2} + 2 \cdot g(h) \cdot ( 2 \cdot ( 2 \cdot g(h) + \cdot \sqrt{5 \cdot (g(h))^{2} - 4})) + (g(h))^{2} = }\)
\(\displaystyle{ (2 \cdot (2 \cdot g(h) + \sqrt{5 \cdot (g(h))^{2} - 4}) + g(h))^{2}}\)

\(\displaystyle{ 2 \cdot (2 \cdot g(h) + \sqrt{5 \cdot (g(h))^{2} - 4}) + g(h)}\) jest liczbą naturalną bo z definicji \(\displaystyle{ 2 \cdot g(h) + \sqrt{5 \cdot (g(h))^{2} - 4} }\) jest liczbą naturalną.

Dodano po 43 sekundach:
Myślałem, że to dla Ciebie jasne. Mówiło o ty pierwsze równanie kwadratowe, które pokazywałem.

[matmatmm]

Jasne, czy nie jasne, w dowodzie trzeba takie rzeczy napisać. Z tym równaniem kwadratowym to było rozumowanie w jedną stronę.

[piotrzolnacz]

Czy jest jeszcze coś czego nie rozumiesz w moim dowodzie albo coś co uważasz, że jest luką w moim rozumowaniu ?

[matmatmm]

Formalnie wzory

\(\displaystyle{ f(m) = 2 \cdot g(m-1) + \sqrt{5 \cdot (g(m-1))^{2} - 4}}\) dla \(\displaystyle{ m > 3}\).
\(\displaystyle{ g(m) = 2 \cdot f(m-2) + \sqrt{5 \cdot (f(m-2))^{2} + 4}}\) dla \(\displaystyle{ m > 3}\).

oraz

\(\displaystyle{ f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 8, f(m) = 4 \cdot g(m-1) + f(m-3)}\)
\(\displaystyle{ g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 5, g(m) = 4 \cdot f(m-2) + g(m-3)}\).

, a także ostateczna konkluzja

Między funkcjami \(\displaystyle{ h(2m)}\) oraz \(\displaystyle{ h(2m - 1)}\) dla \(\displaystyle{ m > 3}\) istnieje taka sama relacja jak między funkcjami \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) dla argumentów większy od \(\displaystyle{ 3}\). Dodatkowo \(\displaystyle{ h(2m) = f(m)}\) dla \(\displaystyle{ m < 4}\) i \(\displaystyle{ h(2m - 1) = g(m)}\) dla \(\displaystyle{ m < 4}\) co oznacza, że funkcją \(\displaystyle{ f}\) generującą wszystkie argumenty ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) dla których \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej jest ciąg fibonacciego dla parzystych liczb naturalnych z kolei funkcją \(\displaystyle{ g}\) generującą liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) dla których ciąg \(\displaystyle{ b_{n}}\) jest kwadratem liczby naturalnej jest ciąg fibonacciego dla nieparzystych liczb naturalnych.

powinny mieć dowód indukcyjny.

[piotrzolnacz]

Ok wrzucę to w weekend.