Wykaż że zachodzi ...

[justynian]

Mamy dane \(\displaystyle{ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} = 1}\) i mamy udowodnić że \(\displaystyle{ \frac{ a^{2} }{b+c} + \frac{ b^{2} }{a+c} + \frac{ c^{2} }{a+b} = 0}\) jako że algebra to moja pięta achillesa prosił bym od dość dokładne wyjaśnienie

[Sylwek]

Pomnóż "dane" kolejno razy a i dostaniesz:
1) \(\displaystyle{ \frac{a^2}{b+c}+\frac{ab}{a+c}+\frac{ac}{a+b}=a}\)

Potem razy b i dostaniesz równość 2) i na końcu razy c i dostaniesz 3). Dodajesz stronami 1), 2) i 3) i mamy:

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+(\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ac+bc}{a+b})=a+b+c}\)

Nietrudno zauważyć, że kolejne ułamki w nawiasie są równe odpowiednio a, b, c, zatem skracamy co się da po obu stronach i dostajemy tezę

[justynian]

nie do końca widzę \(\displaystyle{ \frac{ab+ac}{b+c} = a}\) mógłbyś opisać bardziej

EDIT: się ośmieszyłem już kumam dzięki wielkie i na prawdę respekt za rozwiązanie tego problemu.

[czeslaw]

\(\displaystyle{ \frac{ab+ac}{b+c} = \frac{a(b+c)}{b+c} = a}\)

[justynian]

Rozwiązywałem jeszcze takie zadanko to już właściwie tylko kwestia sprawdzenia czy poprawnie i WYSTARCZAJĄCO a więc: Mamy trójkąt o bokach a, b, c oraz odpowiednio wysokości \(\displaystyle{ h_{a}, h_{b} i h_{c}}\) mam udowodnić \(\displaystyle{ (a+b+c)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c})= (h_{a}+ h_{b}+ h_{c})( \frac{1}{h_{a}} + \frac{1}{h_{b}}+ \frac{1}{h_{c}})}\)
moja propozycja:
\(\displaystyle{ \frac{(a+b+c)}{(h_{a}+ h_{b}+ h_{c})} = \frac{( \frac{1}{h_{a}} + \frac{1}{h_{b}}+ \frac{1}{h_{c}})}{( \frac{1}{a} + \frac{1}{b}+ \frac{1}{c})}}\)

następnie wymnożyć i ukazać ze po obu stronach jest to samo czysto wystarczy aby udowodnić równość ?

[Sylwek]

A znasz wzór na pole trójkąta? Zauważ, że: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a \cdot h_a = S}\), gdzie S jest polem trójkąta, zatem: \(\displaystyle{ \frac{1}{a}=\frac{h_a}{2S}= \frac{1}{2S} \cdot h_a}\) i analogicznie inne oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{h_a}=\frac{a}{2S}=a \cdot \frac{1}{2S}}\) i też analogicznie pozostałe. Zatem obie strony będą równe \(\displaystyle{ (a+b+c)(h_a+h_b+h_c) \cdot \frac{1}{2S}}\)

następnie wymnożyć i ukazać ze po obu stronach jest to samo czysto wystarczy aby udowodnić równość ?

Tak, byłoby OK (u nas akurat mianowniki jako sumy długości odcinków były dodatnie, warto się jednak w ogólności powstrzymać przed dzieleniem przez liczbę niewiadomego znaku bądź rozważenie oddzielnego przypadku) ale co tu do wymnażania . \(\displaystyle{ h_a, h_b, h_c}\) nie mogą być dowolnymi liczbami, są w pewien sposób powiązane i to trzeba wykorzystać - właśnie pole jest wielkością wiążącą \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ h_a}\).