Liczba naturalna n - liczbą pierwszą.

[num8881]

Dla jakich liczb naturalnych n liczba \(\displaystyle{ n^{4} + n^{2} + 1}\) jest liczbą pierwszą?

[Kibu]

\(\displaystyle{ (n^4+n^2+1)=(n^4+2n^2+1)-n^2=(n^1+1)^2-n^2=(n^2+n+1)(n^2-n+1)}\), czyli:

\(\displaystyle{ n^2+n+1\neq 1}\) i \(\displaystyle{ n^2-n+1=1}\)
\(\displaystyle{ \iff n(n+1)\neq 0}\)i \(\displaystyle{ n(n-1)=0}\)
\(\displaystyle{ \iff n=1}\)

[czeslaw]

Aby liczba będąca iloczynem dwóch wyrażeń była pierwsza, jedno z tych wyrażeń musi być równe 1. Wiadomo, że to mniejsze (wiadomo?). No to skoro jedno jest równe 1, a drugie jest większe, to nie musimy chyba rozpatrywać drugiego warunku?

Tak tylko sobie rozumuję, nie czepiam się rozwiązania.

[Kibu]

A co jeśli przyjmiemy, że 0 jest naturalne?:)

[patry93]

Wtedy \(\displaystyle{ 0^4+0^2+1=1}\) nie jest l. pierwszą

[Kibu]

Tak, tak, zgadzam się, ja tak tylko a'propos tego postu wyżej, że nie trzeba rozpatrywać drugiego warunku.

[czeslaw]

Założyłem, że \(\displaystyle{ n^{2}-n+1 < n^{2} +n+1}\), a to jest możliwe tylko dla \(\displaystyle{ n \neq 0}\). Niepotrzebnie tego posta w ogóle napisałem, przepraszam za czepliwość