Czy istnieje na to dowod?

[Twarz]

Zadanie nr 1 ze Zwardonia 2005. (Na ile sposobow mozna przedstawic liczbe \(\displaystyle{ 3^{2005}}\) w postaci sumy co najmniej dwoch kolejnych liczb calkowitych dodatnich) O ile dowod jest dla mnie calkiem jasny itp., o tyle ciekawi mnie czy dla kazdego \(\displaystyle{ 3^{n}}\) odpowiedz brzmi zawsze \(\displaystyle{ n}\). Jestem niemal przekonany, ze to prawda, ale nie potrafie tego udowodnic.

[Elvis]

Mam parę spostrzeżeń, które uzasadniają podane przez ciebie zdanie. Jest ono zresztą prawdziwe dla każdej liczby pierwszej.

1. Liczba \(\displaystyle{ 3^x}\) ma \(\displaystyle{ x}\) dzielników różnych od \(\displaystyle{ 1}\) (są to kolejne potęgi trójki).
2. Suma kolejnych \(\displaystyle{ n}\) liczb całkowitych dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\), liczba \(\displaystyle{ 3^x}\) musi więc dzielić się przez \(\displaystyle{ n}\) (ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego).
3. Jeśli \(\displaystyle{ 3^x}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\), to istnieje odpowiedni ciąg arytmetyczny (z tego samego wzoru).
4. Jeśli dla danego \(\displaystyle{ n}\) istnieje odpowiedni ciąg arytmetyczny, to istnieje tylko jeden (w miarę oczywiste).

Mam nadzieję, że nie wyciągnąłem zbyt pochopnych wniosków.

[g]

2. Suma kolejnych \(\displaystyle{ n}\) liczb całkowitych dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\), liczba \(\displaystyle{ 3^x}\) musi więc dzielić się przez \(\displaystyle{ n}\) (ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego).

\(\displaystyle{ 2 \not | 3+4}\).

to zadanie sprowadza sie do sprawdzenia ilosci rozwiazan rownania \(\displaystyle{ 2 \cdot 3^x = (n-k)(n+k+1)}\), ktore wymagajaco nie wyglada, ze wzgledu na ten rozklad po lewej.

[Elvis]

Masz rację. Chciałem napisać, że dla n nieparzystego, ale się pomyliłem.