potęgi, dzielenie - I liceum

[iksdek]

Witam!
mam do Was prośbę, bo dla Was będą to proste zadania a ja nie potrafię ich zrobić. Pomóżcie rozwiązać, proszę

1. Jaka jest reszta z dzielenia liczby 3^2009 przez 5?

2. Wyznacz wszystkie liczby p,n dla których liczba sześciocyfrowa o kolejnych cyfrach 2547pn jest podzielna przez 15 i nie jest podzielna przez 25.


Co do tego 1 zadania, to próbowałem cos zrobić i wydaje mi się że powinno być 35 ale chciałbym dowiedziec sie czy dobrze myślę i żebyście wytłumaczyli mi dlaczego tak jest

[silicium2002]

1. Ponieważ piątka jest liczbą jednocyfrowa to z naszej liczby \(\displaystyle{ 3^{2009} = 3 \cdot 9^{1004}}\) interesuje nas tylko jej ostatnia liczba. A więc szukamy ostatniej cyfry \(\displaystyle{ 3 \cdot 9^{1004}}\) jest nią 3 bo 3 * 1 = 3 ( warto zapamiętać że \(\displaystyle{ 9^{2n}}\) kończy się \(\displaystyle{ 1}\) zaś \(\displaystyle{ 9^{2n+1}}\) kończy się \(\displaystyle{ 9}\).

Tak więc \(\displaystyle{ 3 : 5 = 0 \ r \ 3}\)

P. S.

35 nie może być, pamiętaj reszta nie może byc większa od tego przez co dzielisz

2. Zauważ że liczba 254700 jest ppodzielna i przez 15 i przez 25. A więc musimy znależć taką liczbę pn która nie jest podzielna przez 25 a jest przez 15.

Pamiętasz na pewno że liczba jest podzielna przez 25 dla dwóch ostatnich cyfr równych:

00 , 25 , 50 i 75

Zaś przez 15 podzielne będą wielokrotności:

00, 15 , 30 , 45 , 60 , 75 , 90

Po odjęciu wspólnych liczb zostają:

15, 30 , 45 , 60 , 90

[iksdek]

3 do potęgi 2009 dzielone przez 5. i jaka reszta? ;p bo ty napisałeś 2009 do trzeciej.


dzięki za to 2. zadanie. proszę jeszcze o 1, jeśli masz ochotę to robic -- 5 wrz 2009, o 14:47 --tego pierwszego niestety nie rozumiem :/

ja to zrobiłem tak:
3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 27
3^4 = 81

3^5 = 243
3^6 = 729

i te koncowki sie powtarzaja cały czas. i pozniej dziele (są 4 możliwości więc przez 4):

3/4=0.75
9/4= 2.25
27/4= 6.75
81/4= 20.25

243/4= 60,75
729/4= 182,25

reszty powtarzaja się. dziele te wyniki przez 5. i wtedy reszty wychodza znow po kolei:
15
45
35
05

15
45
...

i teraz nie wiem który przypadek byłby przy potędze 2009 wydaje mi się że ten trzeci czyli reszta 35 ale nie wiem dlaczego tak pomoże ktoś jeszcze?

[smigol]

Jak słusznie zauważyłeś:
\(\displaystyle{ 3^1 \equiv 3 (mod 5)}\)
\(\displaystyle{ 3^2=9 \equiv 4(mod5)}\)
\(\displaystyle{ 3^3=27 \equiv 2 (mod5)}\)
\(\displaystyle{ 3^4=81 \equiv 1 (mod5)}\)
\(\displaystyle{ (3^4)^{502} \equiv 1^{502} (mod5)}\)
\(\displaystyle{ 3^{2008} \equiv 1 (mod5)}\)
\(\displaystyle{ 3^{2008}*3 =3^{2009} \equiv 1*3=3 (mod5)}\)

[silicium2002]

3 do potęgi 2009 dzielone przez 5. i jaka reszta? ;p bo ty napisałeś 2009 do trzeciej.


dzięki za to 2. zadanie. proszę jeszcze o 1, jeśli masz ochotę to robic

-- 5 wrz 2009, o 14:47 --

tego pierwszego niestety nie rozumiem :/

ja to zrobiłem tak:
3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 27
3^4 = 81

3^5 = 243
3^6 = 729

i te koncowki sie powtarzaja cały czas. i pozniej dziele (są 4 możliwości więc przez 4):

3/4=0.75
9/4= 2.25
27/4= 6.75
81/4= 20.25

243/4= 60,75
729/4= 182,25

reszty powtarzaja się. dziele te wyniki przez 5. i wtedy reszty wychodza znow po kolei:
15
45
35
05

15
45
...

i teraz nie wiem który przypadek byłby przy potędze 2009 wydaje mi się że ten trzeci czyli reszta 35 ale nie wiem dlaczego tak pomoże ktoś jeszcze?

To dzielenie tam na 4 nie ma sensu większego...