Przystawanie modulo a,b

[mathX]

Zadanie z jednego z konkursów matematycznych:

Jeśli:
\(\displaystyle{ a ^{b} - b^{a}=1008}\) , to \(\displaystyle{ a \equiv b \ mod \ 1008}\)

Prosze o wskazówki do zadania

[mcbob]

Trzebaby jakoś pokazać że pierwsze równanie spełnia tylko \(\displaystyle{ a=1009}\) i \(\displaystyle{ b=1}\) (chociaż nie wiem czy to akurat jest prawda )

[Sylwek]

(chociaż nie wiem czy to akurat jest prawda)

O ile się nie pomyliłem, to jest prawda. Jednak nie znalazłem żadnego sensownego sposobu na to zadanie poza "siłką". a,b są tej samej parzystości, gdy obie są parzyste, to poza szczególnymi przypadkami (które obalamy ręcznie) otrzymujemy, że lewa strona jest podzielna przez 32, a prawa nie. Zatem oba są nieparzyste. Czyli: \(\displaystyle{ a \equiv b \ (mod \ 2)}\).

To niestety tylko początek. Mamy: \(\displaystyle{ 1008=2^4 \cdot 3^2 \cdot 7}\)

Więc wystarczy dowieść tą kongruencję mod 16, 9 i 7 i zadanie skończone. Dowiodę modulo 16, pozostałe idą podobnie, niestety to jest straszna siłownia: niech \(\displaystyle{ a=2x+1, \ b=2y+1}\), mamy więc:
\(\displaystyle{ (2x+1)^{2y+1} \equiv ((2x+1)^2)^y \cdot (2x+1) \equiv 1^y \cdot (2x+1) \equiv 2x+1 \ (mod \ 8)}\), analogicznie: \(\displaystyle{ (2y+1)^{2x+1} \equiv 2y+1 \ (mod \ 8)}\), więc: \(\displaystyle{ 2x+1 \equiv 2y+1 \ (mod \ 8)}\), czyli: \(\displaystyle{ a \equiv b \ (mod \ 8)}\). Teraz już wiemy: \(\displaystyle{ a=8x+2t+1, \ b=8y+2t+1}\), gdzie t to 0, 1, 2 lub 3. No i analogicznie dowodzimy, że \(\displaystyle{ x \equiv y \ (mod \ 2)}\), więc: \(\displaystyle{ a \equiv b \ (mod \ 16)}\), itp.

Niestety straszne piłowanie i nic ładniejszego według mnie się nie da tu wykombinować. Dziwne, że takie zadanie było na konkursie.