Pozycja w pewnym ciągu liczb

[Tomcat]

Witam, dzisiaj przysiadłem nieco nad zadaniami z zeszłorocznych Dolnośląskich Meczy Matematycznych. Przez większość zadań przebrnęłem w sumie z niewielkimi problemami, jedno za to jest dla mnie nie do ugryzienia. Prosiłbym o jakieś wskazówki, może konkretne pojęcie którymi powinienem sie zainteresować, jeżeli to jedyna metoda to rozwiązania też mogą być. Treść tego zadania brzmi następująco:

"W ciągu 1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, ... kazdy nastepny wyraz powstaje przez dodanie do poprzedniego sumy jego cyfr. Na którym miejscu wystąpi w nim liczba 200720072007?"

[Dasio11]

Może tak... Sprawdź, jaka liczba może stać w tym ciągu przed \(\displaystyle{ 200720072007}\)

[Tomcat]

Tzn? Jak wyobrażasz sobie sprawdzenie czegoś takiego?

[alchemik]

Rozważ podzielność przez 9.

[Dasio11]

Nie, tamten pomysł nie zadziałał, ale chyba wpadłem na to, co alchemik :]

[Tomcat]

Tzn? Chłopaki coś więcej bo mnie jakaś ciemność dopadła

[Sylwek]

Liczba i jej suma cyfr dają taką samą resztę z dzielenia przez 9 (wykaż to). Wywnioskuj, że skoro pierwszy wyraz tego ciągu nie jest podzielny przez 9, to żaden nie jest. Przypuść, że Twoja liczba występuje w tym ciągu i dojdź do sprzeczności z faktem, że jest ona podzielna przez 9.

[czeslaw]

Odpowiedź brzmi że nie będzie w tym ciągu takiej liczby, w nim są same takie które przy dzieleniu przez 3 dają reszty 1 lub 2, można to wykazać łatwo.

O, Sylwek mnie uprzedził

[Tomcat]

Czyli liczba ta nie występuję w tym ciągu? Sylwek, to z tym, że liczba i jej suma cyfr przy dzieleniu przez 9 dają to samo wpadłem jeszcze jak byłem mały bawiąc sie zegarkiem ale w życiu bym nie wpadł na takie rozwiązanie teraz tylko muszę to odpowiednio zapisać.-- 13 sie 2009, o 09:10 --czeslaw, w jaki sposób to łatwo wykazac?

[czeslaw]

Tak jak napisał Sylwek
Jeżeli liczba nie dzieli się przez 3, to jej suma cyfr też się nie dzieli przez 3, a więc suma liczba+suma cyfr też się nie dzieli przez 3. Czyli reszty z dzielenia przez 3 poszczególnych wyrazów ciągu to 1 lub 2 (układają się naprzemiennie).

[Dasio11]

Albo jest błąd, albo niedomówienie. Skąd wiesz, że liczba+suma cyfr nie dzieli się przez 3?
Jeśli niedomówienie - można uzupełnić, dodając: suma cyfr daje tę samą resztę z dzielenia przez 3 co ta liczba, więc reszta z dzielenia sumy będzie równa 2 lub 4 (czyli 1).