Wyznaczyć wartość p.

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Finarfin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 256
Rejestracja: 13 paź 2004, o 16:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocek
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 9 razy

Wyznaczyć wartość p.

Post autor: Finarfin »

Zadanie brzmi. Wyznacz liczbę p, która jest liczbą pierwszą oraz p jest większe od 2, a dla niego zachodzi następująca własność
\(\displaystyle{ p | 2^p+1}\)


Prosiłbym o wzorcowe rozwiązanie do tego zadania, bo raczej policzyć potrafię. Chodzi o rozpisanie kongruencyjne Z góry dziękuję.
Awatar użytkownika
g
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1552
Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 59 razy

Wyznaczyć wartość p.

Post autor: g »

\(\displaystyle{ 2^p + 1 \equiv 3 od{p}}\). zawsze. ciekawe czemu.
Finarfin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 256
Rejestracja: 13 paź 2004, o 16:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocek
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 9 razy

Wyznaczyć wartość p.

Post autor: Finarfin »

g pisze:\(\displaystyle{ 2^p + 1 \equiv 3 od{p}}\). zawsze. ciekawe czemu.
No i OK, tak też napisałem i dostałem 1. punkt na 5. Chodzi chyba o bardziej szczególowe wyjaśnienie, a nie wiem dokładnie co tam miałoby być zawarte
Awatar użytkownika
g
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1552
Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 59 razy

Wyznaczyć wartość p.

Post autor: g »

no to sie nie dziwie, tez bym ci tyle dal. wypada to jeszcze troche rozwinac - dlaczego tak i jaki z tego wniosek. to sie naturalnie miesci w jednej linijce, ale nie zmienia to faktu, ze wspomniec trzeba.
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Wyznaczyć wartość p.

Post autor: Tomasz Rużycki »

Male twierdzenie Fermata - \(\displaystyle{ a^{p}\equiv a od{p}}\) przy pierwszym \(\displaystyle{ p}\) i calkowitym \(\displaystyle{ a}\).
Finarfin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 256
Rejestracja: 13 paź 2004, o 16:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocek
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 9 razy

Wyznaczyć wartość p.

Post autor: Finarfin »

Mam jeszcze dość podobne zadanko, ale również prosiłbym o napisanie jak to ma wyglądać, bo może jednak coś źle zrobiłem. A zadanie brzmi:

Wykazać, że dla dowolnego n należącego do liczb naturalnych, liczba \(\displaystyle{ (n+1)^n-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\)

Z góry dziękuję.
Olo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 264
Rejestracja: 18 lis 2004, o 21:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 42 razy

Wyznaczyć wartość p.

Post autor: Olo »

\(\displaystyle{ (n+1)^{n}-1}\) rozwijasz za pomocą dwumianu newtona i okazuje się, że wszystkie wyrazy są podzielne przez n, oprócz ostatniego, który skraca się z 1. Albo z kongruencji:
\(\displaystyle{ (n+1)=1 (mod n) (...)^{n} \\ (n+1)^{n}=1 (mod n)}\) Czyli to co chciałeś uzyskać Jasiu.
Awatar użytkownika
Tomasz Rużycki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2970
Rejestracja: 8 paź 2004, o 17:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów/Kraków
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 293 razy

Wyznaczyć wartość p.

Post autor: Tomasz Rużycki »

...albo z \(\displaystyle{ a^n-b^n = (a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k}b^{k}}\):)
ODPOWIEDZ