Wykaż, że wyrażenie nie zeruje się

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
czeslaw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2156
Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 317 razy

Wykaż, że wyrażenie nie zeruje się

Post autor: czeslaw »

Udowodnij, że dla każdego q pierwszego liczba

\(\displaystyle{ 2^{q + 1} + 2^{(q - 1)^{2}} \mod 2^{q + 1} - 1}\)

nie jest zerem.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Wykaż, że wyrażenie nie zeruje się

Post autor: »

Mamy:
\(\displaystyle{ 2^{q + 1} \equiv 1 \mod (2^{q + 1} - 1) \\
\left( 2^{q + 1}\right)^{q-3} \equiv 1 \mod (2^{q + 1} - 1) \\
2^{q^2-2q-3 }\equiv 1 \mod (2^{q + 1} - 1) \\
2^{q^2-2q+1 }\equiv 2^4 \mod (2^{q + 1} - 1)}\)


Stąd:
\(\displaystyle{ 2^{q + 1} + 2^{(q - 1)^{2}} \equiv 1 + 16 = 17 \mod ( 2^{q + 1} - 1)}\)

Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ 17}\) nie jest podzielne przez żądaną liczbę dla żadnego \(\displaystyle{ q}\) naturalnego (nie tyko pierwszego).

Q.
Awatar użytkownika
czeslaw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2156
Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 317 razy

Wykaż, że wyrażenie nie zeruje się

Post autor: czeslaw »

Takie było podejrzenie, że zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych, ale potrzeba było udowodnić tylko dla pierwszych. Dziękuję.
ODPOWIEDZ