Udowodnij, że dla każdego q pierwszego liczba
\(\displaystyle{ 2^{q + 1} + 2^{(q - 1)^{2}} \mod 2^{q + 1} - 1}\)
nie jest zerem.
Wykaż, że wyrażenie nie zeruje się
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wykaż, że wyrażenie nie zeruje się
Mamy:
\(\displaystyle{ 2^{q + 1} \equiv 1 \mod (2^{q + 1} - 1) \\
\left( 2^{q + 1}\right)^{q-3} \equiv 1 \mod (2^{q + 1} - 1) \\
2^{q^2-2q-3 }\equiv 1 \mod (2^{q + 1} - 1) \\
2^{q^2-2q+1 }\equiv 2^4 \mod (2^{q + 1} - 1)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ 2^{q + 1} + 2^{(q - 1)^{2}} \equiv 1 + 16 = 17 \mod ( 2^{q + 1} - 1)}\)
Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ 17}\) nie jest podzielne przez żądaną liczbę dla żadnego \(\displaystyle{ q}\) naturalnego (nie tyko pierwszego).
Q.
\(\displaystyle{ 2^{q + 1} \equiv 1 \mod (2^{q + 1} - 1) \\
\left( 2^{q + 1}\right)^{q-3} \equiv 1 \mod (2^{q + 1} - 1) \\
2^{q^2-2q-3 }\equiv 1 \mod (2^{q + 1} - 1) \\
2^{q^2-2q+1 }\equiv 2^4 \mod (2^{q + 1} - 1)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ 2^{q + 1} + 2^{(q - 1)^{2}} \equiv 1 + 16 = 17 \mod ( 2^{q + 1} - 1)}\)
Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ 17}\) nie jest podzielne przez żądaną liczbę dla żadnego \(\displaystyle{ q}\) naturalnego (nie tyko pierwszego).
Q.
- czeslaw
- Użytkownik
- Posty: 2156
- Rejestracja: 5 paź 2008, o 22:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Politechnika Wrocławska
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 317 razy
Wykaż, że wyrażenie nie zeruje się
Takie było podejrzenie, że zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych, ale potrzeba było udowodnić tylko dla pierwszych. Dziękuję.