Dowód podzielności

[Zen]

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba \(\displaystyle{ n^{5}}\) - n jest podzielna przez 30.
(Andrzej Kiełbasa : Matura z Matematyki 2005-... część I ; s.20)

rozłożyłem \(\displaystyle{ n^{5}}\) - n na czynniki \(\displaystyle{ n(n-1)(n+1)(n^{2} +1 )}\).... co dalej ?

[Zordon]

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n^{5} - n jest podzielna przez 30.
(Andrzej Kiełbasa : Matura z Matematyki 2005-... część I ; s.20)

rozłożyłem n^{5} - n na czynniki : n(n-1)(n+1)(n^{2} +1 ) .... co dalej ?

możesz probówać przez indukcję, albo udowodnić że taka liczba jest podzielna przez 2,3 i 5.

[adner]

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba \(\displaystyle{ n^{5}}\) - n jest podzielna przez 30.
(Andrzej Kiełbasa : Matura z Matematyki 2005-... część I ; s.20)

rozłożyłem \(\displaystyle{ n^{5}}\) - n na czynniki : n(n-1)(n+1)(\(\displaystyle{ n^{2}}\) +1 ) .... co dalej ?

(n-1)n(n+1) to trzy kolejne liczby naturalne, więc są podzielne przez 6. Możesz zauważyć, że w wypadku, gdy któraś z tych liczb jest niepodzielna przez 5, to wtedy \(\displaystyle{ n^{2}+1}\) jest(popatrz na podstawie przystawania).

[smigol]

n(n-1)(n+1)
podzielne przez 6.
\(\displaystyle{ n^5-n}\) podzielne przez 5 z MTF

ewentualnie
n^2+1=n^2-4+5

[Nakahed90]

Podzielność przez 5 można łatwo za pomoca Małego Twierdzenia Fermata pokazać. W liceum to twierdzenie nie obowiązuje, ale nic nie stoi na przeszkodzie, aby rozszerzyć swoją wiedzę.

[adner]

I mamy już trzy sposoby na udowodnienie tego samego
Dlatego matematyka jest piękna

[smigol]

czwarty: indukcja.

[Django]

To może taki fajny dowodzik (kontynuacja myśli kolegi adner):
Rozkładając na czynniki \(\displaystyle{ n^5 - n}\) mamy tak jak pisał Zen:
\(\displaystyle{ n(n-1)(n+1)(n^2+1)}\)
Najpierw wykażemy podzielność przez 5.
Mamy pięć przypadków:
1) \(\displaystyle{ n \equiv 0 (mod \ 5) \Rightarrow 5|n \Leftrightarrow 5|n(n-1)(n+1)(n^2+1)}\), c.k.d.
2) \(\displaystyle{ n \equiv 1 (mod \ 5) \Rightarrow 5|n-1 \Leftrightarrow 5|n(n-1)(n+1)(n^2+1)}\), c.k.d.
3) \(\displaystyle{ n \equiv 2 (mod \ 5) \Rightarrow 5|n^2+1 \Leftrightarrow 5|n(n-1)(n+1)(n^2+1)}\), c.k.d.
4) \(\displaystyle{ n \equiv 3 (mod \ 5) \Rightarrow 5|n^2+1 \Leftrightarrow 5|n(n-1)(n+1)(n^2+1)}\), c.k.d.
5) \(\displaystyle{ n \equiv 4 (mod \ 5) \Rightarrow 5|n+1 \Leftrightarrow 5|n(n-1)(n+1)(n^2+1)}\), c.k.d.

Krótkie wyjaśnienie punktu 3. i 4.
3) \(\displaystyle{ n \equiv 2 (mod \ 5) \Leftrightarrow n^2 \equiv 4 (mod \ 5) \Leftrightarrow n^2+1 \equiv 0 (mod \ 5)}\)
4) \(\displaystyle{ n \equiv 3 (mod \ 5) \Leftrightarrow n^2 \equiv 9 \equiv 4 (mod \ 5) \Leftrightarrow n^2 +1 \equiv 0 (mod \ 5)}\)

Podzielność przez 5 została wykazana, teraz podzielność przez 6.
Zauważmy na początek, że iloczyn \(\displaystyle{ n(n-1)(n+1)(n^2+1)}\) jest liczbą parzystą, bo już samo \(\displaystyle{ n(n+1)}\) jest liczbą parzystą, więc \(\displaystyle{ 2|n(n-1)(n+1)(n^2+1)}\)
Teraz podzielność przez 3:
Zauważmy tutaj, że wśród kolejnych trzech liczb naturalnych zawsze jedna jest podzielna przez 3. Czyli w naszym wypadku: \(\displaystyle{ n(n-1)(n+1)}\) jest iloczynem 3 kolejnych liczb naturalnych, więc dzieli się przez 3. Zatem \(\displaystyle{ 3|n(n-1)(n+1)(n^2+1)}\)
Czyli \(\displaystyle{ 30|n^5-n}\)
Pzdr

[Sylwek]

Jedno z najczęściej pojawiających się zadań na forum. Stawiam dolary przeciw orzechom, że ten temat pojawił się na forum więcej niż 10 razy.

P.S. Przed chwilą wpisałem w Google:

Kod: Zaznacz cały

"podzielna przez 30" site:matematyka.pl

543 wyniki wyszukiwania. Tylko ciągle przychodzą nowi, którzy zamiast poświęcić 15 sekund na szukanie, wolą poświęcić 2 minuty na przepisywanie treści i czekać, aż inni powielą to, co już sie setki razy pojawiło. Sam udowodniłem to w fajny sposób tutaj: 43660.htm . Używajcie opcji SZUKAJ!

P.S.2. Jeszcze słowem wyjaśnienia mojego (chyba już piątego dla tego zadania) rozwiązania - pierwszy składnik jest podzielny przez 1*2*3*4*5=120, czyli przez 30 też, drugi jest podzielny przez 5*1*2*3=30, czyli całość jest podzielna przez 30.

@Smigol - Głównie chodziło mi o opcję szukaj, swoje rozwiązanie znalazłem przy okazji

[smigol]

Sylwek
patrz 4 post od góry )

[p_pokora]

A teraz proszę dowód twierdzenia dla \(\displaystyle{ n^x - n}\), gdy x jest liczbą pierwszą. Dowód jest trochę dłuższy ...

[frej]

Tylko co dokładnie trzeba dowieść?

[Nakahed90]

Chodzi pewnie o dowód MTF-a.

[frej]

Na wikipedii jest kilka dowodów.

[p_pokora]

Wykazać, że \(\displaystyle{ x| n^{x} - n}\). Dowody może są, samemu coś wykombinować byłoby lepiej ...
Standardowa indukcja i znajomość pewnej własności symbolu Newtona. To jedna opcja, a dalej to inwencja twórcza.
Tak, to co u góry jest równoważne MTF, w zasadzie pewnej jego odmianie. Można sobie to też udowodnić dla sportu.
Pozdrawiam