Wielomianowa zależność pi, e

[fon_nojman]

1) Czy istnieje wielomian \(\displaystyle{ W}\) o współczynnikach wymiernych taki, że

\(\displaystyle{ W(\pi)=e}\) ?

2) Czy istnieje szereg potęgowy \(\displaystyle{ S}\) o współczynnikach wymiernych taki, że

\(\displaystyle{ S(\pi)=e}\) ?

[max]

2) Tak.
Połóżmy:
\(\displaystyle{ a_{1} := 10^{[\log (e/\pi)]}\\
S_{n} := \sum_{j=1}^{n}a_{j}\pi^{j}\\
a_{n+1} := 10^{[\log ((e - S_{n})/\pi^{n+1})]}}\)

(\(\displaystyle{ [x]}\) - część całkowita \(\displaystyle{ x;}\)
\(\displaystyle{ \log x := \log_{10}x}\))

Jasne jest, że \(\displaystyle{ a_{j}\in \mathbb{Q}.}\)
Również wprost z definicji \(\displaystyle{ S_{n} < e,}\) czyli
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{\infty}a_{j}\pi^{j}<\infty}\) (wyrazy szeregu są dodatnie).
Warunek konieczny zbieżności sponsoruje:
\(\displaystyle{ a_{n+1}\pi^{n+1}\to 0,}\)
czyli
\(\displaystyle{ \left[\log \left(\frac{e - S_{n}}{\pi^{n+1}}\right)\right] + \log \pi^{n + 1} \to -\infty,}\)
skąd bezkarnie opuszczając część całkowitą dostajemy \(\displaystyle{ e-S_{n}\to 0.}\)

[fon_nojman]

max w twojej metodzie można wstawić za \(\displaystyle{ e,\pi}\) dowolne liczby dodatnie? Sam na to wpadłeś, bo robi wrażenie?

[max]

Rzeczywiście korzystałem tylko z dodatniości tych liczb, ale dla ujemnych dałoby się to chyba przerobić wstawiając gdzieś moduły i minusy. W zasadzie był to pierwszy pomysł jaki przyszedł mi do głowy po przeczytaniu 1) i 2) i stwierdzeniu, że 1) może być trudne.
Te problemy skądś pochodzą, czy też sam sobie postawiłeś takie pytania?

[Zordon]

Rzeczywiście korzystałem tylko z dodatniości tych liczb, ale dla ujemnych dałoby się to chyba przerobić wstawiając gdzieś moduły i minusy. W zasadzie był to pierwszy pomysł jaki przyszedł mi do głowy po przeczytaniu 1) i 2) i stwierdzeniu, że 1) może być trudne.
Te problemy skądś pochodzą, czy też sam sobie postawiłeś takie pytania?

Pierwsze wydaje się trudne...
Co do 2 to można to łatwo zrobić dla dowolnych liczb (no, może niezerowych). Wystarczy tylko zadbać o to, żeby np. \(\displaystyle{ W_n(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n}\) przybliżało naszą liczbę z dokładnością do \(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\), tzn, żeby błąd malał do zera. To zrobić już nietrudno, mój pomysł wykorzystywał to, że w każdym niepustym przedziale siedzi jakaś liczba wymierna i żeby wybierać kolejne współczynniki z odpowiednich przedziałów. Ale wzorki maxa wydają się ładniejsze niż to co ja wymyśliłem

[xiikzodz]

1. chyba beznadziejnie trudne. Jeśli komuś wygodniej, to może zamienić \(\displaystyle{ \pi}\) z \(\displaystyle{ e}\) miejscami - otrzymujemy równoważne zadanie.

[fon_nojman]

Te problemy skądś pochodzą, czy też sam sobie postawiłeś takie pytania?

Wymyśliłem je gdy zastanawiałem się nad jakimiś zależnościami pomiędzy \(\displaystyle{ \pi,e}\) ale myślę, że są znane bo wyglądają dość naturalnie.

Co do 2 to można to łatwo zrobić dla dowolnych liczb (no, może niezerowych). Wystarczy tylko zadbać o to, żeby np. \(\displaystyle{ W_n(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n}\) przybliżało naszą liczbę z dokładnością do \(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\), tzn, żeby błąd malał do zera. To zrobić już nietrudno, mój pomysł wykorzystywał to, że w każdym niepustym przedziale siedzi jakaś liczba wymierna i żeby wybierać kolejne współczynniki z odpowiednich przedziałów. Ale wzorki maxa wydają się ładniejsze niż to co ja wymyśliłem

Twój pomysł korzystał by z tego, że liczby \(\displaystyle{ q\pi^k,q\in \mathbb{Q},k\in \mathbb{Z}}\) leżą gęsto w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)?

1. chyba beznadziejnie trudne. Jeśli komuś wygodniej, to może zamienić \(\displaystyle{ \pi}\) z \(\displaystyle{ e}\) miejscami - otrzymujemy równoważne zadanie.

Jak to pokazać bo za bardzo nie widzę?

[Zordon]

Twój pomysł korzystał by z tego, że liczby \(\displaystyle{ q\pi^k,q\in \mathbb{Q},k\in \mathbb{Z}}\) leżą gęsto w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)?

No to napiszę dokładniej:
Będziemy definiować szereg potęgowy \(\displaystyle{ S(x)= \sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ W_n(x)= \sum_{k=0}^{n}a_kx^k}\)
niech \(\displaystyle{ a_0=2}\). Mamy oczywiście \(\displaystyle{ 0 \le e-W_0(\pi) \le 1}\) bo \(\displaystyle{ W_0(\pi)=2}\)
Teraz definiujemy indukcyjnie kolejne współczynniki. Załóżmy, że zdefiniowaliśmy do miejsca n włącznie, i że mamy \(\displaystyle{ 0 \le b_n=e-W_n(\pi)\le \frac{1}{2^n}}\). Czyli, że błąd przybliżenia jest niewiększy niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\)
Teraz, kolejny współczynnik \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) (przy \(\displaystyle{ x^{n+1}}\)) dobieramy tak, żeby zachodziło:
\(\displaystyle{ \frac{b_n}{2} \le a_{n+1}\pi^{n+1} \le b_n}\)
\(\displaystyle{ \frac{b_n}{2\pi^{n+1}} \le a_{n+1} \le \frac{b_n}{\pi^{n+1}}}\)
Oczywiście można dobrać \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) wymierne, bo jeśli \(\displaystyle{ b_n}\) jest niezerowe, to mamy niepusty przedział, w którym jest zawsze liczba wymierna, a jeśli \(\displaystyle{ b_n=0}\) to jeszcze prościej \(\displaystyle{ a_{n+1}=0}\).
Teraz sprawdzamy jaki jest błąd przybliżenia:
\(\displaystyle{ b_{n+1}=e-W_{n+1}(\pi)=e-W_n(\pi)-a_{n+1}\pi^{n+1}=b_n-a_{n+1}\pi^{n+1}}\)
Ze sposobu wyboru \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) mamy
\(\displaystyle{ b_n-b_n\le b_n-a_{n+1}\pi^{n+1} \le b_n- \frac{b_n}{2}}\)
\(\displaystyle{ 0\le b_n-a_{n+1}\pi^{n+1} \le \frac{b_n}{2} \le \frac{1}{2^{n+1}}}\)
Więc.
\(\displaystyle{ 0\le b_{n+1} \le \frac{1}{2^{n+1}}}\)
czyli tak jak miało być.