Sprawdzenie dowodów.

[adek05]

1.
\(\displaystyle{ a, b \in N \Rightarrow (\frac{a^2+b^2}{ab} \in N \Leftrightarrow a=b)}\)

D.
Dla a=b jest całkowite. Niech \(\displaystyle{ a\neq b}\). Wtedy\(\displaystyle{ ab| a^2 + b^2}\), gdzie a i b są względnie pierwsze.
\(\displaystyle{ ab| a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2}\)
Czyli \(\displaystyle{ k*ab \le a-b \Rightarrow k*ab+b = a \Rightarrow b(k*a+1) = a \Rightarrow b = \frac{a}{k*a + 1}}\) a to nie jest całkowite - sprzeczność.

2.
Wykazać, że dla dowolnych liczb naturalnych k, m, n zachodzi:
\(\displaystyle{ NWW(k,m)*NWW(m,n)*NWW(n,k) \ge NWW(k,m,n)^2}\)

D.
Niech \(\displaystyle{ d = NWD(k, m, n)}\)
\(\displaystyle{ k = d*a\quad m = d*b \quad n=d*c}\)
Wtedy \(\displaystyle{ d*a*b *d*b*c*d*c*a = d^3*a^2*b^2*c^2 = d * NWW(k,m,n) \ge NWW(k,m,n)}\)
Bo \(\displaystyle{ d\ge 1}\)

[Zordon]

Drugie OK. Pierwsze troche nieczytelnie, powinny być wykazane dwie implikacje, a jakoś tego nie widzę...

[adek05]

Masz rację. Pokazałem implikacje w jedną stronę, która jest oczywista.
Ale jakbym w drugą pokazał tak:
\(\displaystyle{ ab|a-b\\
k*ab = a-b,\ k \ge 0\\
kab +b = a\\
b(ka + 1) = a\\
b = \frac{a}{ka +1}}\)
Ale to tylko wtedy, gdy k = 0, czyli a - b = 0 c.k.d.

[Zordon]

Masz rację. Pokazałem implikacje w jedną stronę, która jest oczywista.
Ale jakbym w drugą pokazał tak:
\(\displaystyle{ ab|a-b\\
k*ab = a-b,\ k \ge 0\\
kab +b = a\\
b(ka + 1) = a\\
b = \frac{a}{ka +1}}\)
Ale to tylko wtedy, gdy k = 0, czyli a - b = 0 c.k.d.

to jest ok, ale skąd bierzesz, że \(\displaystyle{ ab|a-b}\)?

[adek05]

Z tego, że\(\displaystyle{ ab|a^2+b^2 \Rightarrow ab|a^2 - 2ab + b^2 \Rightarrow ab|(a-b)^2}\)

[Zordon]

Z tego, że\(\displaystyle{ ab|a^2+b^2 \Rightarrow ab|a^2 - 2ab + b^2 \Rightarrow ab|(a-b)^2}\)

no i co? masz \(\displaystyle{ ab|(a-b)^2}\) i co dalej?

[kammeleon18]

Zauważ, że \(\displaystyle{ b|(a^2+ b^2)-b^2 \ i \ a|(a^2+b^2)-a^2}\). Stąd wyprowadź tezę.

[adek05]

Zordon, masz rację, pochopny wniosek, trochę się zagolopowałem

SchmudeJanusz, to jedna z opcji Myślałem, że uda mi się udowodnić tamtym sposobem, nie wyszło, trudno. Dzięki za pomoc