Wzór na ułamek piętrowy

[Bartek1991]

Mam dany taki ułamek:

\(\displaystyle{ X = r + \frac{1}{ \frac{1}{r}+ \frac{1}{r+ \frac{1}{\frac{1}{r}+ \frac{1}{ \frac{1}{r}+ \frac{1}{r+...} } } } }}\)

I to idzie do nieskończoności. Mógłby mi ktoś wyjaśnić dlaczego ten ułamek równy jest \(\displaystyle{ X = r + \frac{1}{ \frac{1}{r} + \frac{1}{X} }}\) ? Skąd to się bierze?

[Sylwek]

Ten ułamek "zawiera", podobnie jak fraktal, samego siebie

Zauważ, że (w ramkę oznaczam, że ten ułamek to ten sam, co wyjściowy ułamek, bo mamy nieskończony ułamek piętrowy):

\(\displaystyle{ X-r = \frac{1}{ \frac{1}{r}+ \frac{1}{r+ \boxed{\frac{1}{\frac{1}{r}+ \frac{1}{ \frac{1}{r}+ \frac{1}{r+...} } } } } }=\frac{1}{\frac{1}{r} + \frac{1}{r+\boxed{X-r}}} = \frac{1}{\frac{1}{r}+\frac{1}{X}}}\)

Reszta jasna.