Dwie ostatnie cyfry, potęgi piętrowe

[patry93]

Witam.

Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczby: \(\displaystyle{ 7^{9^{9^{9}}}}\)

Próbowałem w taki sposób:
\(\displaystyle{ 9^9 \equiv (-1)^9 \equiv 9 \ (mod 10) \Rightarrow 9^9=10k+9 \\ 7^{9^{9^{9}}} \equiv 7^{9^{10k+9}} \equiv 7^{9^{10k} \cdot 9^9} \equiv 7^{9^{10k} (10k+9) } \equiv 7^{9^{10k} \cdot 10k} \cdot 7 ^{9^{10k+1}} \equiv (7^{10k} )^{9^{10k}} \cdot (7^9)^{9^{10k}}}}\)
Nie wiem co dalej...

Pozdrawiam, P.

[Wasilewski]

Może spróbuj wykorzystać to, że \(\displaystyle{ 7^{2} \equiv -1 (mod \ 50)}\).

[Sylwek]

No i dodatkowo \(\displaystyle{ 7^4=2401 \equiv 1 \ (mod \ 100)}\), czyli: \(\displaystyle{ 7^{9^{9^9}}=7^{4k+1} =(7^4)^k \cdot 7 \equiv 7 \ (mod \ 100)}\)

[Wasilewski]

W sumie nie trzeba angażować tak wielkich liczb ;], mamy przecież:
\(\displaystyle{ x= 7^{4k+1} \equiv 7 (mod \ 25) \\
x = 7^{4k+1} \equiv -1 (mod \ 4)}\)
Mamy zatem dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale <1,100>, a można je wskazać od razu (do sprawdzenia cztery przypadki, ale już przy pierwszym osiągamy sukces). To tak w ramach rozwinięcia mojej pierwszej myśli.