Liczby względnie pierwsze

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
tychikus89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 25 cze 2009, o 23:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Dwór Gdański
Podziękował: 1 raz

Liczby względnie pierwsze

Post autor: tychikus89 »

Witam, dostalem zadanienie i nie moge sobie z nim poradzic.. Proszę Was o pomoc!
Treść zadania brzmi następująco:
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ m}\) jest względnie pierwsze z \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), to m jest względnie pierwsze z iloczynem tych liczb \(\displaystyle{ ab}\).
Jako wniosek udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ m}\) jest względnie pierwsze z każdą liczbą \(\displaystyle{ m _{1} ,...,m _{k}}\), to \(\displaystyle{ m}\) jest względnie pierwsze z iloczynem tych liczb \(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{k} m _{i}}\)
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Liczby względnie pierwsze

Post autor: BettyBoo »

Załóżmy, że NWD(a,m)=NWD(b,m)=1 oraz niech NWD(m,ab)=d>1. Wtedy d ma dzielnik pierwszy p, więc w szczególności p|ab, co oznacza, że p|a lub p|b. Ponieważ mamy także p|m, to p|NWD(a,m) lub p|NWD(b,m) - co daje żądaną sprzeczność.

Drugą część przez indukcję.

Pozdrawiam.
tychikus89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 25 cze 2009, o 23:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Dwór Gdański
Podziękował: 1 raz

Liczby względnie pierwsze

Post autor: tychikus89 »

sorki co oznacza: p|a? Chodzi mi o tą kreskę |
Wtedy d ma dzielnik pierwszy p
a i skąd wzięło się d?
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

Liczby względnie pierwsze

Post autor: BettyBoo »

sorki co oznacza: p|a? Chodzi mi o tą kreskę |
p|a oznacza, że p dzieli a.
a i skąd wzięło się d?
Przed d oznaczyłam NWD(ab,m).

Pozdrawiam.
tychikus89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 25 cze 2009, o 23:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Dwór Gdański
Podziękował: 1 raz

Liczby względnie pierwsze

Post autor: tychikus89 »

aa ok dzieki
ODPOWIEDZ