Dowód, że między liczbami NW występuje liczba W i odwrotnie.

[_Mithrandir]

Znalazłem takie zadanie:

a) Udowodnić, że między dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi leży liczba:
i) wymierna,
ii) niewymierna.
b) Udowodnić, że między dowolnymi dwiema liczbami niewymiernymi leży liczba:
i) wymierna,
ii) niewymierna.


Jak w ogóle się do tego zabrać? Niby wydaje się oczywiste, że tezy są prawdziwe, ale jak tego dowieść? Z czego tu wyjść, na czym się oprzeć?

[xiikzodz]

Od razu najlepiej obie rzeczy pokazywać, to znaczy, że między dwiema dowolnymi różnymi liczbami leżą liczby wymierne i niewymierne.

Można na przykład tak:

Niech dla \(\displaystyle{ a<b}\)

\(\displaystyle{ N=\max\left\{1,\left\lceil\frac{1}{b-a}\right\rceil\right\}}\)

Między liczbami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), leży wówczas liczba wymierna:

\(\displaystyle{ \frac{\lceil 2N\cdot a+1\rceil}{2N}}\)

oraz niewymierna

\(\displaystyle{ \frac{\lceil 4N\cdot a+1\rceil}{4N}+\frac{\sqrt 2}{\lceil 4N\sqrt 2\rceil}}\).

Można oczywiście zgrabniejsze podobne formuły wyprodukować. Jest to o tyle wygodny sposób, że nie zależy od definicji liczb rzeczywistych i opiera się na istnieniu jednej liczby niewymiernej, np. \(\displaystyle{ \sqrt 2}\).

[_Mithrandir]

\(\displaystyle{ N=\max\left\{1,\left\lceil\frac{1}{b-a}\right\rceil\right\}}\)

Co to oznacza? I skąd wzięły się ułamki poniżej?

[Maciej87]

Tak na chłopski rozum: masz odstęp pomiędzy dwiema liczbami długości \(\displaystyle{ \varepsilon}\).
Mnożysz liczby przez dostatecznie duże \(\displaystyle{ N}\) tak żeby dziura zrobiła się dłuższa niż \(\displaystyle{ 1}\).
W nowym przedziale, przeskalowanym, znajdujesz teraz liczbę całkowitą \(\displaystyle{ M}\),
a następnie dzielisz z powrotem przez \(\displaystyle{ N}\) i lądujesz oczywiście w przedziale wyjściowym,
z liczbą wymierną \(\displaystyle{ \frac{M}{N}}\)