Znalazłem takie zadanie:
a) Udowodnić, że między dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi leży liczba:
i) wymierna,
ii) niewymierna.
b) Udowodnić, że między dowolnymi dwiema liczbami niewymiernymi leży liczba:
i) wymierna,
ii) niewymierna.
Jak w ogóle się do tego zabrać? Niby wydaje się oczywiste, że tezy są prawdziwe, ale jak tego dowieść? Z czego tu wyjść, na czym się oprzeć?
Dowód, że między liczbami NW występuje liczba W i odwrotnie.
-
- Użytkownik
- Posty: 584
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 309 razy
- Pomógł: 6 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Dowód, że między liczbami NW występuje liczba W i odwrotnie.
Od razu najlepiej obie rzeczy pokazywać, to znaczy, że między dwiema dowolnymi różnymi liczbami leżą liczby wymierne i niewymierne.
Można na przykład tak:
Niech dla \(\displaystyle{ a<b}\)
\(\displaystyle{ N=\max\left\{1,\left\lceil\frac{1}{b-a}\right\rceil\right\}}\)
Między liczbami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), leży wówczas liczba wymierna:
\(\displaystyle{ \frac{\lceil 2N\cdot a+1\rceil}{2N}}\)
oraz niewymierna
\(\displaystyle{ \frac{\lceil 4N\cdot a+1\rceil}{4N}+\frac{\sqrt 2}{\lceil 4N\sqrt 2\rceil}}\).
Można oczywiście zgrabniejsze podobne formuły wyprodukować. Jest to o tyle wygodny sposób, że nie zależy od definicji liczb rzeczywistych i opiera się na istnieniu jednej liczby niewymiernej, np. \(\displaystyle{ \sqrt 2}\).
Można na przykład tak:
Niech dla \(\displaystyle{ a<b}\)
\(\displaystyle{ N=\max\left\{1,\left\lceil\frac{1}{b-a}\right\rceil\right\}}\)
Między liczbami \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), leży wówczas liczba wymierna:
\(\displaystyle{ \frac{\lceil 2N\cdot a+1\rceil}{2N}}\)
oraz niewymierna
\(\displaystyle{ \frac{\lceil 4N\cdot a+1\rceil}{4N}+\frac{\sqrt 2}{\lceil 4N\sqrt 2\rceil}}\).
Można oczywiście zgrabniejsze podobne formuły wyprodukować. Jest to o tyle wygodny sposób, że nie zależy od definicji liczb rzeczywistych i opiera się na istnieniu jednej liczby niewymiernej, np. \(\displaystyle{ \sqrt 2}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 584
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 309 razy
- Pomógł: 6 razy
Dowód, że między liczbami NW występuje liczba W i odwrotnie.
\(\displaystyle{ N=\max\left\{1,\left\lceil\frac{1}{b-a}\right\rceil\right\}}\)
Co to oznacza? I skąd wzięły się ułamki poniżej?
Co to oznacza? I skąd wzięły się ułamki poniżej?
- Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Dowód, że między liczbami NW występuje liczba W i odwrotnie.
Tak na chłopski rozum: masz odstęp pomiędzy dwiema liczbami długości \(\displaystyle{ \varepsilon}\).
Mnożysz liczby przez dostatecznie duże \(\displaystyle{ N}\) tak żeby dziura zrobiła się dłuższa niż \(\displaystyle{ 1}\).
W nowym przedziale, przeskalowanym, znajdujesz teraz liczbę całkowitą \(\displaystyle{ M}\),
a następnie dzielisz z powrotem przez \(\displaystyle{ N}\) i lądujesz oczywiście w przedziale wyjściowym,
z liczbą wymierną \(\displaystyle{ \frac{M}{N}}\)
Mnożysz liczby przez dostatecznie duże \(\displaystyle{ N}\) tak żeby dziura zrobiła się dłuższa niż \(\displaystyle{ 1}\).
W nowym przedziale, przeskalowanym, znajdujesz teraz liczbę całkowitą \(\displaystyle{ M}\),
a następnie dzielisz z powrotem przez \(\displaystyle{ N}\) i lądujesz oczywiście w przedziale wyjściowym,
z liczbą wymierną \(\displaystyle{ \frac{M}{N}}\)