Wyrażenie wymierne, matura 2001

[birek28]

Wyznacz wszystkie wymierne wartości x, dla których wyrażenie \(\displaystyle{ \sqrt{x^2-4x+6}}\) jest liczbą wymierną. Z góry dziękuje za pomoc.

[smigol]

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-4x+6} \in Q \Leftrightarrow x^2-4x+6=a^2 \Rightarrow \Delta=0}\)


chyba. Ale coś mi nie pasuje, bo wychodzi wyróżnik ujemny... hmmmm....

[Maciej87]

Hm. To zadanie maturalne...
Ja bym to robił tak: zamiast \(\displaystyle{ x-2}\) podstawmy \(\displaystyle{ x}\), chcemy wtedy by
\(\displaystyle{ x^2+2=y^2}\)
zatem szukamy punktów wymiernych (\(\displaystyle{ x,\in\mathbb{Q} \Leftrightarrow x-2\in\mathbb{Q}}\)) na hiperboli \(\displaystyle{ x^2-y^2=2}\).
Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ u=x-y,v=x+y}\) sprowadza nas do sytuacji \(\displaystyle{ uv=2}\), punkty wymierne przechodzą na punkty wymierne. Zatem rozwiązaniami będą
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}(u+v) = \frac{1}{2}u+\frac{1}{u}, \\
y=-\frac{1}{2}u+\frac{1}{u}}\)
gdzie \(\displaystyle{ u\in\mathbb{Q}}\).
I jeszcze pamiętamy żeby dodać \(\displaystyle{ 2}\), bo nasze \(\displaystyle{ x}\) to \(\displaystyle{ x'=x-2}\)

Komentując troszkę inaczej, rozkładamy \(\displaystyle{ (x-y)(x+y)=2}\), i widzimy że \(\displaystyle{ x,y}\) wymierne wtedy i tylko wtedy kiedy \(\displaystyle{ u=x+y,v=x-y}\) wymierne. Wykonując podstawienie mamy \(\displaystyle{ uv=2}\), a kiedy oba są wymierne wiadomo- wystarczy i trzeba by \(\displaystyle{ u\in\mathbb{Q}}\).
Następnie wyliczamy \(\displaystyle{ v}\) i dalej \(\displaystyle{ x,y}\)

[birek28]

Bardzo ładne rozwiazanie, sprytne podstawinie, jak dla uczniow liceum uważam, że zadanie zbyt trudne aby pojawilo sie na maturze ( matura 2001 woj. śląskie, był to podpunkt c) za 2 pkt:-))
Dziękuje i pozdrawiam