Nieparzystość - dowód

BartekPwl · Post autor: **BartekPwl** » 16 cze 2009, o 23:17

Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie dowolną liczbą nieparzystą. Udowodnij, że \(\displaystyle{ {2^rk \choose 2^r}}\) jest zawsze liczbą nieparzystą (dla dowolnego \(\displaystyle{ r}\)).

Rogal · Post autor: **Rogal** » 16 cze 2009, o 23:29

I w czym jest rzecz?

BartekPwl · Post autor: **BartekPwl** » 16 cze 2009, o 23:33

A w tym, że albo jestem zmęczony, albo niedoedukowany. Czy ktoś mógłby przeprowadzić dowód?

kammeleon18 · Post autor: **kammeleon18** » 30 cze 2009, o 17:43

Wykorzystaj fakt, iż
\(\displaystyle{ \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) = \frac{{(n - k + 1)(n - k + 2)...(n - 1)n}}{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot k}}}\)
Zauważ że odpowiednie składniki w liczniku i mianowniku mają w rozkładzie na czynniki pierwsze taką samą potęgę dwójki.