Nieparzystość - dowód
-
- Użytkownik
- Posty: 106
- Rejestracja: 9 gru 2007, o 16:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Limanowa / Gliwice
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 19 razy
Nieparzystość - dowód
Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie dowolną liczbą nieparzystą. Udowodnij, że \(\displaystyle{ {2^rk \choose 2^r}}\) jest zawsze liczbą nieparzystą (dla dowolnego \(\displaystyle{ r}\)).
-
- Użytkownik
- Posty: 306
- Rejestracja: 10 maja 2008, o 11:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Pomógł: 36 razy
Nieparzystość - dowód
Wykorzystaj fakt, iż
\(\displaystyle{ \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) = \frac{{(n - k + 1)(n - k + 2)...(n - 1)n}}{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot k}}}\)
Zauważ że odpowiednie składniki w liczniku i mianowniku mają w rozkładzie na czynniki pierwsze taką samą potęgę dwójki.
\(\displaystyle{ \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) = \frac{{(n - k + 1)(n - k + 2)...(n - 1)n}}{{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot k}}}\)
Zauważ że odpowiednie składniki w liczniku i mianowniku mają w rozkładzie na czynniki pierwsze taką samą potęgę dwójki.