Udowodnić że zachodzi taka nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{\pi (n)}{n} \le \frac{2}{3}}\)
nierówność z funkcją pi
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
nierówność z funkcją pi
Próbowałeś? Bo idzie jak najbardziej intuicyjnie.
Przypadki do n=3 na palcach, potem co druga liczba jest złożona, tzn. dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\) mamy dokładnie \(\displaystyle{ [ \frac{n-2}{2}]=[\frac{n}{2}]-1}\) liczb parzystych większych od 2, dodatkowo doliczamy istnienie jedynki, więc liczb, które nie są pierwsze jest co najmniej \(\displaystyle{ [\frac{n}{2}]}\).
Czyli dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\) mamy: \(\displaystyle{ L \le \frac{n-[\frac{n}{2}]}{n} \le \frac{n-\frac{n-1}{2}}{n}= \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} \le \frac{1}{2}+\frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{5}{8} < \frac{2}{3}}\)
Przypadki do n=3 na palcach, potem co druga liczba jest złożona, tzn. dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\) mamy dokładnie \(\displaystyle{ [ \frac{n-2}{2}]=[\frac{n}{2}]-1}\) liczb parzystych większych od 2, dodatkowo doliczamy istnienie jedynki, więc liczb, które nie są pierwsze jest co najmniej \(\displaystyle{ [\frac{n}{2}]}\).
Czyli dla \(\displaystyle{ n \ge 4}\) mamy: \(\displaystyle{ L \le \frac{n-[\frac{n}{2}]}{n} \le \frac{n-\frac{n-1}{2}}{n}= \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} \le \frac{1}{2}+\frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{5}{8} < \frac{2}{3}}\)