Potęgowanie liczb

[Rogal]

Brzytwa, przyznaję, palnąłem gafę, bo miałem w myślach warunek jeszcze na to rozszerzenie - mianowicie, żeby znane i wyliczalne wartości były przyjmowane, czyli dla chociażby wszystkich liczb całkowitych (bo te każdy może podać), wiadomo, że nie jest to jedynka.
Jeżeli patrzył będziesz na x jak na liczbę zespoloną, to dziedziną będą liczby zespolone, nie rzeczywiste, w dość oczywisty sposób, bo z definicji
Dasio, pomysł ciekawy, tylko musisz się wytłumaczyć z jednej rzeczy - czy przy pomocy takiego zagęszczania uzyskamy na przykład \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\). Jeśli tak, to opisz to, będziemy myśleć dalej.
Definicja Twojego f jest do bani, bo nie definiujesz symbolu \(\displaystyle{ (-1)^{x}}\)

[Dasio11]

Rogal :

Wystarczy wybrać sobie kilka punktów, które zapisane jako ułamek zwykły nieskracalny mają mianownik niepodzielny przez 2...

Pozostałych punktów nie narysujemy, tak samo jak funkcja pierwiastek nie ma II ćwiartki (IV też nie, ale o tym już była rozmowa ;]). Tak jak pisałem, rozrzutka punktów, które nie tylko nie graniczą ze sobą w drugim wymiarze, ale również byłyby nieciągłe w pierwszym, gdyby poprzez "spłaszczenie" pominąć wymiar y.
Przyznam, że nie rozumiem ostatniego zdania Twojej wypowiedzi... Ale jeśli zadowoli Cię odpowiedź "w ciemno", że przekształcenie wzoru miało na celu jedynie pokazanie czarno na białym, jakie argumenty przyjmuje funkcja oraz jak będzie wyglądał wykres, to nie będę dopominał się o dalsze tej kwestii roztrząsanie.

[Rogal]

No to Cię źle zrozumiałem. Myślałem, że robimy tak, że potrafimy dla tych, co mają mianownik niepodzielny przez 2 i staramy się zagęszczając podchodzić coraz bliżej do tych co mają mianownik podzielny przez 2. Przepraszam, ale ja tak rozumiem "zagęszczanie".
Nie wiem również co jest niezrozumiałego w moim ostatnim zdaniu - napisałem, że nie wiadomo co oznacza tam ten symbol, więc nie jest to dobra definicja. Także nic czarno na białym nie pokazałeś, bo pojawia się tam bardzo niejasny symbol.

[Dasio11]

Zagęszczanie - podstawianie pod \(\displaystyle{ x}\) ułamków nieskracalnych, niekoniecznie właściwych, o coraz większych (nieparzystych) mianownikach - w pewnym sensie jest to zbliżanie do tych o parzystych mianownikach, ale przecież zaplatają się tak gęsto, że trudno naprawdę mówić o przybliżaniu. Na przykład, jeśli próbujemy "przybliżyć" \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), to "po drodze" spotykamy \(\displaystyle{ \frac{49}{100}}\) - dla tej liczby nie da się policzyć \(\displaystyle{ (-1)^x}\) w rzeczywistych, więc przybliżając do jednej takiej liczby, omijamy inne. Jest tak dlatego, że:
\(\displaystyle{ \bigwedge \limits_{a<b} \bigvee \limits_{n \in \mathbb{R}} (a<n<b \wedge n=\frac{p}{q}, \quad p,q \in \mathbb{R}, NWD(p,q)=1, \quad 2\mid q)}\)

Co to znaczy, że "nie definiuję symbolu"? Jeżeli o to chodzi, to \(\displaystyle{ (-x)^{-x}=(-1 \cdot x)^{-x}=(-1)^{-x} \cdot x^{-x}=(\frac{1}{-1})^{x} \cdot \frac{1}{x^x}=(-1)^x \cdot \frac{1}{x^x}}\). Jeśli nie o to - napisz o co.

[Rogal]

Okej. Tylko czemu akurat mamy spotkać taki ułamek, a nie na przykład \(\displaystyle{ \frac{47}{99}?}\)
W sumie to niezła myśl, bo tak na oko wydaje się, że możemy do dowolnego ułamka o mianowniku podzielnym przez dojść za pomocą takich o mianownikach nieparzystych. Pytanie - do czego wtedy dąży wartość naszej funkcji, o ile dąży?
A to że nie definiujesz symbolu, to chodzi o to, że nikt nie wie, co to oznacza
Powiedz na ten przykład, ile to jest \(\displaystyle{ (-1)^{\pi}?}\)

[abc666]

No ale zbliżając się tymi nieparzystymi liczbami i tak zawsze mamy minusa więc po co się tak bawić i nie wyciągnąć go przed całą wartość i normalnie wyciągnąć pierwiastek?

W sumie fajnie wygląda wykres \(\displaystyle{ x^x}\) w zespolonych

[Rogal]

No dobrze, dla liczb wymiernych o mianowniku nieparzystym, to każdy wie co to znaczy podnieść -1 do takiej liczby. Jednak symbol \(\displaystyle{ (-1)^{x}}\) nie oznacza nic, a nie było przy nim żadnych założeń i o ich precyzację prosiłem.
A wykres istotnie fajny

[Dasio11]

Jeżeli \(\displaystyle{ f(x)=x^x}\), to chyba:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty } f(x) =0}\), zgodnie z \(\displaystyle{ f(-x)=(-1)^x \cdot \frac{1}{x^x}}\), bo \(\displaystyle{ \frac{1}{x^x} \to 0}\)
Nie wiem, ile to jest \(\displaystyle{ (-1)^\pi}\), prawdopodobnie nie można tego policzyć, bo \(\displaystyle{ \pi}\) jest niewymierne. Właśnie na tym polega idea, że liczby o tak wielkich rozwinięciach dziesiętnych robimy dopiero, gdy skończymy te prostsze - to jest zagęszczanie.

abc666, można tak zrobić, ale wtedy nie będziemy wiedzieli, co jest dziedziną :] \(\displaystyle{ (-1)^x}\) jest więc tylko po to, żeby nie przyjmować np. \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) za argument.

Hmm, pomyłka, zdaje się. Przecież nie muszą być ujemne, bo na przykład: \(\displaystyle{ (-\frac{2}{3})^{-\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{(-\frac{3}{2})^2}=\sqrt[3]{(\frac{3}{2})^2}>0}\)