Potęgowanie liczb

[Longines]

Mamy takie równanie.
X^{X} = Y^{Y}
przy czym: X nierówne Y
Może ktoś znajdzie wartość(ci) LICZBOWE z uzasadnieniem tego równania.

[Rogal]

Wziąłbym się za to tak:
Najpierw narysuj sobie wykres funkcji x do x. To jest taka chochelka z bardzo stromą rączką.
Od punktu (0, 1) maleje do ekstremum bodaj w 1/e, a potem rośnie gwałtownie, ale w jedynce ma 1.
I właśnie na tym przedziale możesz mieć rozwiązania tego równania. Dokładnie można powiedzieć, że x=0 i y=1 spełniają to równanie. Plus masa punktów pomiędzy z wyłączeniem ekstremum, ale na tę chwilę nie widzę, by dało się podać w jakiś prosty sposób zależność algebraiczną między nimi, bo nie mamy tutaj symetryczności względem minimum tak jak, przykładowo, w funkcji kwadratowej.

[Longines]

Szczerze mówiąc zapomniałem z prędkości dopisać, że X i Y nie mogą się równać zero. W takim wypadku to byłoby zbyt łatwe. X i Y muszą być większe od zera.

[Rogal]

No to masz to, co jest pomiędzy zerem i jedynką, tak jak pisałem. Narysuj to sobie, to zobaczysz.

[abc666]

Nic raczej nie zrobisz,
\(\displaystyle{ y= \frac{x \ln x}{W(x \ln x)}\quad ,x \in (0, \frac{1}{e} )}\)
No i widać że dalej tego ruszyć się za bardzo nie da, możesz sobie parę punktów znaleźć jakiś typu
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{4} \right)}\)

[Longines]

Dzięki za odpowiedź.

[Brzytwa]

Dokładnie można powiedzieć, że x=0 i y=1 spełniają to równanie.

A mnie uczyli, że \(\displaystyle{ 0^0}\) sensu żadnego nie ma...

[Rogal]

A tu proszę, jednak może mieć .
Tam konkretnie się rozchodzi o granicę prawostronną, ale na upartego można sobie zdefiniować, że w takich rozważaniach potęgowo-wielomianowych \(\displaystyle{ 0^{0}}\) jest 1.
W teorii miary przyjmuje się, że \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty}\) jest równe 0 i też nikt szat nie rwie z tego powodu

[Dasio11]

Z ciekawości zapytam: Czy to znaczy, że \(\displaystyle{ y=0^x}\) nie jest funkcją ciągłą w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\) ?

[Brzytwa]

Z ciekawości zapytam: Czy to znaczy, że \(\displaystyle{ y=0^x}\) nie jest funkcją ciągłą w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\) ?

Mnie się wydaje, że z mojego posta wynika, iż 0 nie należy do dziedziny tej funkcji...

-- 19 czerwca 2009, 16:23 --

A tu proszę, jednak może mieć .
Tam konkretnie się rozchodzi o granicę prawostronną, ale na upartego można sobie zdefiniować, że w takich rozważaniach potęgowo-wielomianowych \(\displaystyle{ 0^{0}}\) jest 1.
W teorii miary przyjmuje się, że \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty}\) jest równe 0 i też nikt szat nie rwie z tego powodu

Ok, ale tu masz zwykłe równanie w liczbach rzeczywistych i żadne granice nie mają tu żadnego znaczenia. Naturalną dziedziną funkcji \(\displaystyle{ x^x}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{+}}\) (lub jego dowolny podzbiór ). Możesz ją przedłużać nawet dla całego \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), ale to już inna kwestia.

[Rogal]

Wiem, że równanie mam w rzeczywistych, tylko zwracam uwagę, że często się przyjmuje w analizie, czy w algebrze w takich rozkminach, że zero do zerowej to jest jeden, bo to parę rzeczy wygładza.
A przyjmuje się tak właśnie ze względu na istnienie tej granicy prawostronnej.
Dodam, że R+ to często się oznacza dodatnie wraz z zerem, więc trochę mnie to w pierwszym momencie zdziwiło, ale się połapałem w konwencjach .
Natomiast niezwykle ciekaw byłbym przykładu jakiegoś przedłużenia tej funkcji na argumenty ujemne, nawet nie musi to być ciągłe przedłużenie

Dasio, to jest kwestia tego, co rozumiesz przez taki symbol. Jednak jak na moją intuicję nie definiujemy go w zerze, bo tak naprawdę jest to funkcja stale równa 0. I tutaj rację miałby Brzytwa - po prostu zera do zerowej ot tak nie podnosimy. Natomiast w przypadku funkcji iks do iks mamy zmianę i podstawy i wykładnika, więc możemy się na coś tam omówić, co po części jest zgodne z tym, co mówi nam analiza.

[Brzytwa]

Natomiast niezwykle ciekaw byłbym przykładu jakiegoś przedłużenia tej funkcji na argumenty ujemne, nawet nie musi to być ciągłe przedłużenie

Raczej mi chodziło, że w tym przypadku rozszerzanie funkcji do zera ma taki sam sens jak rozszerzanie do ujemnych. Dla mnie jest to wciąż lekkie naginanie podobne do stwierdzenia, że 1 jest miejscem zerowym funkcji wymiernej \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^{2}-2x+1}{x-1}}\). Można rozszerzać funkcję jeśli chcesz by miała pewne własności. Ale tu nie masz funkcji tylko zwykłe równanie.

A co do rozszerzenia na ujemne argumenty, to możemy sobie ją rozszerzyć dowolnie skoro nie musi być ciągła

[Rogal]

No i tutaj się właśnie mylisz, bo rozszerzenia na ujemne nie uda Ci się skonstruować żadnego, nawet nieciągłego, natomiast rozszerzenie do zera jest fajne, bo funkcja zachowuje w nim ciągłość.
Przykład podany przez Ciebie jest, wybacz, bez sensu w tym kontekście.
Znowuż wypominasz mi, że jest to równanie - ciekaw jestem, jak chcesz rozwiązywać takiego typu równania bez znajomości własności funkcyjnych? Jedyne, co potrafię rozwiązywać bez własności funkcyjnych, to równania wielomianowe. Być może mnie oświecisz i pokażesz, jak rozwiązywać na przykład równania logarytmiczne BEZ korzystania z analitycznych własności funkcji logarytm.

[Brzytwa]

No i tutaj się właśnie mylisz, bo rozszerzenia na ujemne nie uda Ci się skonstruować żadnego, nawet nieciągłego

Nawet rozszerzenie stałe równe 1 będzie ciągłe. Oczywiście nie ma to żadnego sensu, niemniej jednak mogę sobie tak zdefiniować.
A co do sensowniejszego rozszerzenia, to wystarczy, że będę patrzył na x jak na liczbę zespoloną. Wówczas dziedziną jest oczywiście \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

[Dasio11]

A dlaczego nie można skonstruować rozszerzenia na ujemne? ^^ Wystarczy wybrać sobie kilka punktów, które zapisane jako ułamek zwykły nieskracalny mają mianownik niepodzielny przez 2, zaznaczyć te punkty, a potem "zagęszczać" - wybierać nowe punkty, pamiętając o regule :] Nawet, jeśli otrzymamy nic nie znaczącą rozsypkę punktów, to będzie to coś w rodzaju nieciągłej funkcji :> Skoro:

\(\displaystyle{ f(x)=x^x \\
\\
f(x): \begin{cases} f(x)=x^x, \quad x\ge 0 \\ f(-x)=(-x)^{-x}=(-1)^{-x} \cdot \frac{1}{x^x}=(-1)^x \cdot \frac{1}{x^x}, \quad x>0 \end{cases}}\)

to funkcja dla \(\displaystyle{ x<0}\) będzie wyglądać tak, jak \(\displaystyle{ g(x)=\frac{1}{f(x)}}\) dla dodatnich \(\displaystyle{ x}\), tylko że część punktów z II ćwiartki znajdzie się symetrycznie względem osi x, w III ćwiartce. Same punkty, ale wykres jest ^^