Układ równań diofantycznych

[lukasz_650]

1. Znaleźć warunek konieczny i dostateczny na rozwiązalność w liczbach całkowitych układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} ax + by + cz = d \\ Ax + By + Cz = D \end{cases}}\)
przy całkowitych \(\displaystyle{ a, b, c, d, A, B, C, D}\).

2. Wzorując się na Twierdzeniu, sformułować i udowodnić twierdzenie o rozwiązaniach układu równań
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{m} a_{ij}x_{i} = b_{j} \quad (j = 1, 2, ..., n)}\).

Twierdzenie. Jeżeli liczby \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}}\) są całkowite i nie wszystkie równe zeru,\(\displaystyle{ L(x) = \sum_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}}\), a \(\displaystyle{ \xi = \langle x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} \rangle}\) jest dowolnym całkowitym rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ L(x) = b}\), to istnieją takie elementy \(\displaystyle{ v_{i} \in \mathbb{Z}^{n} (i=1, 2, ..., n-1)}\), że \(\displaystyle{ \eta = \langle y_{1}, y_{2}, ..., y_{n} \rangle}\) jest rozwiązaniem tego równania wtedy i tylko wtedy, gdy da się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ \eta = \xi + \sum_{j=1}^{n-1} m_{j}v_{j} \ (m_{j} \in \mathbb{Z})}\). Przedstawienie takie jest jedyne.
W twierdzeniu zakładamy, że \(\displaystyle{ (a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})|b}\), czyli że równanie \(\displaystyle{ L(x) = b}\) ma rozwiązanie.

[Kartezjusz]

1.Podziel obustronnie przez NWD(a,b,c,d) i NWD(a,b,c,d) i zastosuj rozszerzony algorytm eulkidesa

[lukasz_650]

1.Podziel obustronnie przez NWD(a,b,c,d) i NWD(a,b,c,d) i zastosuj rozszerzony algorytm eulkidesa

Mógłbyś bardziej to rozwinąć? Bo cały czas nie widzę dojścia do rozwiązania...