kwadrat liczby pierwszej

[bzyk12]

Dowieść, że kwadrat każdej liczby pierwszej p>3 jest postaci 24k+1 gdzie k jest liczbą naturalną.

[lukasz_650]

Sprawdźmy do czego modulo 24 może przystawać liczba pierwsza p>3.
Do 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 i 22 nie może bo dzieliłaby się przez 2, czyli nie byłaby pierwsza.
Do 3, 9, 15, 21 nie może bo dzieliłaby się przez 3.
Teraz łatwo można sprawdzić, że wszystkie kwadraty pozostałych reszt, czyli 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19 i 23 przystają do 1 modulo 24, co kończy dowód.

[Brzytwa]

Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą. Wówczas liczba \(\displaystyle{ p^{2}-1=(p-1)(p+1}\)) jest iloczynem \(\displaystyle{ 2}\) kolejnych liczb parzystych. Jedna z nich zatem musi być wielokrotnością \(\displaystyle{ 4}\). Stąd mamy, że liczba \(\displaystyle{ p^{2}-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\). Ponieważ \(\displaystyle{ p}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) (liczba pierwsza większa od \(\displaystyle{ 3}\)), więc również jedna z liczb \(\displaystyle{ p-1}\), \(\displaystyle{ p+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\). Zatem \(\displaystyle{ p^{2}-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 24}\). Stąd \(\displaystyle{ p^{2}-1=24k}\), dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\), co należało wykazać.

[bzyk12]

Jak doszedłeś do tego że liczba p-1 , p+1 jest podzielna przez 3. Mógłbyś udowodnić.

[Sylwek]

Jedna z liczb: \(\displaystyle{ p-1, \ p, \ p+1}\) jest podzielna przez 3 (bo to 3 kolejne liczby naturalne). p być nie może (bo jest pierwsze i większe od 3). Zatem któraś z liczb: p-1, p+1 jest podzielna przez 3.

[bzyk12]

dobra., dzięki, zrozumiałem

[kammeleon18]

Albo po prostu skorzystać z faktu, że każda liczba pierwszą można przedstawiać w postaci
\(\displaystyle{ 6k+1}\)lub\(\displaystyle{ 6k-1}\)

[Michocio]

Witam!

Orientuje się ktoś gdzie występuje to twierdzenie w literaturze? Chciałbym podać go jako lemat, ale potrzebuję źródła.

Pozdrawiam.

[kammeleon18]

Jest to zbyt oczywiste imo zeby mialo nazwe.