oznaczmy przez (a, b) - NWD liczb a i b, a przez [a, b]- NWW liczb a i b. Udowodnij żed zachodzi równosc dla dowolnych licZb naturalnych a, b, c:
[(a, b), c]=([a, c], [b, c]) i ([a, b], c)=[(a, c), (b, c)].
udowodnij NWW i NWD
-
lukasz_650
- Użytkownik
- Posty: 116
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 3 razy
udowodnij NWW i NWD
Zauważmy, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y, z \in \mathbb{R}}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ max \lbrace min \lbrace x, y \rbrace, z \rbrace = min \lbrace max \lbrace x, z \rbrace, max \lbrace y, z \rbrace \rbrace}\)
Żeby to pokazać wystarczy rozpatrzyć trzy przypadki: \(\displaystyle{ x \leqslant y \leqslant z}\), \(\displaystyle{ x \leqslant z \leqslant y}\), \(\displaystyle{ z \leqslant x \leqslant y}\), bo bez straty ogólności można przyjąć, że \(\displaystyle{ x \leqslant y}\) i wtedy to łatwo wychodzi.
Podstawiamy teraz do tej równości:
\(\displaystyle{ x = \alpha_{p}(a)}\),
\(\displaystyle{ y = \alpha_{p}(b)}\),
\(\displaystyle{ z = \alpha_{p}(c)}\),
gdzie \(\displaystyle{ \alpha_{p}(n)}\) jest wykładnikiem odpowiadającym liczbie pierwszej \(\displaystyle{ p}\) dla liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)
I teraz już tylko korzystasz z następujących twierdzeń:
1) Jeśli \(\displaystyle{ d = (a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})}\), to dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) mamy \(\displaystyle{ \alpha_{p}(d) = min \lbrace \alpha_{p}(a_{1}), \alpha_{p}(a_{2}), ..., \alpha_{p}(a_{n}) \rbrace}\).
2) Jeśli \(\displaystyle{ D = [a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}]}\), to dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) mamy \(\displaystyle{ \alpha_{p}(D) = max \lbrace \alpha_{p}(a_{1}), \alpha_{p}(a_{2}), ..., \alpha_{p}(a_{n}) \rbrace}\).
Drugą równość udowadniamy podobnie.
Jak będę miał coś bardziej wyjaśnić, to napisz
\(\displaystyle{ max \lbrace min \lbrace x, y \rbrace, z \rbrace = min \lbrace max \lbrace x, z \rbrace, max \lbrace y, z \rbrace \rbrace}\)
Żeby to pokazać wystarczy rozpatrzyć trzy przypadki: \(\displaystyle{ x \leqslant y \leqslant z}\), \(\displaystyle{ x \leqslant z \leqslant y}\), \(\displaystyle{ z \leqslant x \leqslant y}\), bo bez straty ogólności można przyjąć, że \(\displaystyle{ x \leqslant y}\) i wtedy to łatwo wychodzi.
Podstawiamy teraz do tej równości:
\(\displaystyle{ x = \alpha_{p}(a)}\),
\(\displaystyle{ y = \alpha_{p}(b)}\),
\(\displaystyle{ z = \alpha_{p}(c)}\),
gdzie \(\displaystyle{ \alpha_{p}(n)}\) jest wykładnikiem odpowiadającym liczbie pierwszej \(\displaystyle{ p}\) dla liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)
I teraz już tylko korzystasz z następujących twierdzeń:
1) Jeśli \(\displaystyle{ d = (a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})}\), to dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) mamy \(\displaystyle{ \alpha_{p}(d) = min \lbrace \alpha_{p}(a_{1}), \alpha_{p}(a_{2}), ..., \alpha_{p}(a_{n}) \rbrace}\).
2) Jeśli \(\displaystyle{ D = [a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}]}\), to dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) mamy \(\displaystyle{ \alpha_{p}(D) = max \lbrace \alpha_{p}(a_{1}), \alpha_{p}(a_{2}), ..., \alpha_{p}(a_{n}) \rbrace}\).
Drugą równość udowadniamy podobnie.
Jak będę miał coś bardziej wyjaśnić, to napisz