najmniejsza liczba naturalna n taka, że f(n) jest liczbą zło

klarkid · Post autor: **klarkid** » 13 cze 2009, o 21:29

czesc! mam problem z takim zadaniem:
Znaleźc najmniejszą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) taką, że \(\displaystyle{ f(n)}\) jest liczbą złożoną:
\(\displaystyle{ f(x)= x^{2}+x+17}\)
oraz:
Pokazać, że prosta \(\displaystyle{ k}\) o równaniu parametrycznym:
\(\displaystyle{ k\begin{cases} x=-\frac{12}{25}+3t \\ y= -\frac{20}{24}+5t \\z=- \frac{33}{25}+7t \end{cases}}\)
nie przechodzi przez żaden punkt kratowy czyli należący do \(\displaystyle{ Z^3}\), gdzie \(\displaystyle{ Z}\) - zbiór liczb całkowitych. Znaleźć minimalną odległość prostej od zbioru \(\displaystyle{ Z^3}\) obliczoną w metryce taksówkowej.

spajder · Post autor: **spajder** » 13 cze 2009, o 22:35

1. Czy to nie ten wzór, o którym przez długi czas myślano, że zawiera tylko liczby pierwsze? (Oczywiście mogę się mylić). Wtedy odpowiedzią będzie \(\displaystyle{ 41}\) (Euler zauważył). I raczej nie ma żadnego triku, po prostu trza podstawiać.

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 13 cze 2009, o 23:14

Ten wzór chyba pochodzi od Legendre'a i raczej powinno się podstawić x=17.

klarkid · Post autor: **klarkid** » 13 cze 2009, o 23:52

n wychodzi 17.
ale w jaki sposob sie to liczy?

Artist · Post autor: **Artist** » 14 cze 2009, o 17:32

klarkid pisze:n wychodzi 17.
ale w jaki sposob sie to liczy?

Podstawiasz kolejno za x (1,2,3,4,5,6....) tak długo aż natrafisz na liczbę złożoną. Podobnie jak u Eulera (\(\displaystyle{ f(x)=x^{2}+x+41}\)) jeśli za x podstawiy wyraz wolny to otrzymamy złożoną, a to dlatego, ze: \(\displaystyle{ 17^{2}+17+17=17(17+1+1)}\)