Dowieść, że istnieje n takie, że liczba:
\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n} (k^4+k^2+1)}\)
jest kwdaratem liczby całkowitej
Kwadrat liczby całkowitej
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Kwadrat liczby całkowitej
\(\displaystyle{ =\prod ((k^2+1)^2-k^2) = \prod (k^2+k+1)(k^2-k+1)}\)
Ale \(\displaystyle{ k^2+k+1=(k+1)^2-(k+1)+1}\).
Zatem gdy: \(\displaystyle{ a_k=k^2+k+1}\) i to ten iloczyn (dla ustalenia uwagi \(\displaystyle{ n \ge 3}\), mniejsze przypadki można ręcznie obalić) to inaczej:
\(\displaystyle{ (n^2+n+1) \cdot a_{n-1}^2 \cdot \ldots \cdot a_2^2 \cdot a_1^2 \cdot (1^2-1+1) = (n^2+n+1) \cdot b}\)
Gdzie \(\displaystyle{ b=(a_1a_2 \ldots a_{n-1})^2}\).
Zatem problem dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\) jest równoważny z istnieniem kwadratu postaci \(\displaystyle{ (n^2+n+1)}\).
Ale gdy \(\displaystyle{ n \ge 3}\), to: \(\displaystyle{ n^2 < (n^2+n+1) < (n+1)^2}\), zatem teza jest nieprawdziwa, nie istnieje kwadrat w postaci tego iloczynu.
Źle przepisałeś polecenie i trzeba było wykazać nieistnienie czy gdzieś coś ominąłem?
Ale \(\displaystyle{ k^2+k+1=(k+1)^2-(k+1)+1}\).
Zatem gdy: \(\displaystyle{ a_k=k^2+k+1}\) i to ten iloczyn (dla ustalenia uwagi \(\displaystyle{ n \ge 3}\), mniejsze przypadki można ręcznie obalić) to inaczej:
\(\displaystyle{ (n^2+n+1) \cdot a_{n-1}^2 \cdot \ldots \cdot a_2^2 \cdot a_1^2 \cdot (1^2-1+1) = (n^2+n+1) \cdot b}\)
Gdzie \(\displaystyle{ b=(a_1a_2 \ldots a_{n-1})^2}\).
Zatem problem dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\) jest równoważny z istnieniem kwadratu postaci \(\displaystyle{ (n^2+n+1)}\).
Ale gdy \(\displaystyle{ n \ge 3}\), to: \(\displaystyle{ n^2 < (n^2+n+1) < (n+1)^2}\), zatem teza jest nieprawdziwa, nie istnieje kwadrat w postaci tego iloczynu.
Źle przepisałeś polecenie i trzeba było wykazać nieistnienie czy gdzieś coś ominąłem?