Rozwiązania całkowite pewnej funkcji

[matemix]

Czy poniższe wyrażenie ma inne rozwiązania całkowite niż dla a=1 i k=1?

\(\displaystyle{ f(a, k) = \frac {2^{a} \cdot k}{2^{a} \cdot k -1} \cdot \sum_{i=0}^{a-1} 1,5^{i}}\)

[Rogal]

Co tutaj niby można rozwiązywać, skoro to nie równanie?

[matemix]

Już jest.

[Artist]

Dla k=0 ma. A po za tym jakbyś szukał innych to spróbuj sigmę zamienić na sume ciągu geometrycznego. Ja po kilku przekształceniach otrzymałem postać:

\(\displaystyle{ f_{(a,k)}=\frac{2k(3^{a}-2^{a})}{2^{a}k-1}}\)
Teraz, aby była to liczba całkowita mianownik musi dzielić licznik, ale mianownik nie dzieli 2 ani k (no chyba, że jest równy jeden). Zatem wystarczy zauważyć, że:
\(\displaystyle{ 2^{a}k-1|3^{a}-2^{a}}\)
No i teraz musiałbyś wykazać, że jest to prawda tylko dla a=1 lub znaleźć rozwiązania. Wieczorem pomyśle dokłądniej bo teraz sie śpieszę.

Pozdrawiam.

[matemix]

Dla k=0 ma.

Oczywiście ma, ale o tym rozwiązaniu wiem, szukam jeszcze innych.

A po za tym jakbyś szukał innych to spróbuj sigmę zamienić na sume ciągu geometrycznego. Ja po kilku przekształceniach otrzymałem postać:

\(\displaystyle{ f_{(a,k)}=\frac{2k(3^{a}-2^{a})}{2^{a}k-1}}\)

Oczywiście znam tą postać, ale z owej postaci również nic nie potrafię wywnioskować.

Teraz, aby była to liczba całkowita mianownik musi dzielić licznik, ale mianownik nie dzieli 2 ani k (no chyba, że jest równy jeden). Zatem wystarczy zauważyć, że:
\(\displaystyle{ 2^{a}k-1|3^{a}-2^{a}}\)
No i teraz musiałbyś wykazać, że jest to prawda tylko dla a=1 lub znaleźć rozwiązania.

No właśnie, tyle, że to jest właśnie największy problem. Stąd próbowałem to zamienić na sumę itp.