Granica górna
-
lukasz_650
- Użytkownik
- Posty: 116
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 3 razy
Granica górna
Niech \(\displaystyle{ p_{n}}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbę pierwszą. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} (p_{n+1}-p_{n})=\infty}\).
Ostatnio zmieniony 6 cze 2009, o 17:12 przez max, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Nierówność, która pojawiła się niezależnie od wyjściowego problemu wydzieliłem do oddzielnego tematu: http://matematyka.pl/131466.htm
Powód: Nierówność, która pojawiła się niezależnie od wyjściowego problemu wydzieliłem do oddzielnego tematu: http://matematyka.pl/131466.htm
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Granica górna
Wystarczy pokazać, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ N}\) istnieje ciąg \(\displaystyle{ N}\) kolejnych liczb naturalnych, takich, że każda z nich jest złożona.
Weźmy w takim razie liczby naturalne od \(\displaystyle{ (N + 1)! + 2}\) do \(\displaystyle{ (N + 1)! + N + 1,}\) i zauważmy, że każda z nich jest złożona (bo \(\displaystyle{ (N+1)!}\) jest podzielne przez każdą z liczb: \(\displaystyle{ 2, \ldots, N + 1}\)).
Weźmy w takim razie liczby naturalne od \(\displaystyle{ (N + 1)! + 2}\) do \(\displaystyle{ (N + 1)! + N + 1,}\) i zauważmy, że każda z nich jest złożona (bo \(\displaystyle{ (N+1)!}\) jest podzielne przez każdą z liczb: \(\displaystyle{ 2, \ldots, N + 1}\)).