Liczby pierwsze postaci 4l+1

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
ramaya
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 19 maja 2009, o 21:41
Płeć: Kobieta
Pomógł: 2 razy

Liczby pierwsze postaci 4l+1

Post autor: ramaya »

Pokazać, że liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ 4l+1}\) jest nieskończenie wiele.
frej

Liczby pierwsze postaci 4l+1

Post autor: frej »

Załóż, że jest skończenie wiele. Musisz przy ich pomocy skonstruować liczbę pierwszą postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\)
Awatar użytkownika
Artist
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 865
Rejestracja: 27 sty 2008, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 239 razy

Liczby pierwsze postaci 4l+1

Post autor: Artist »

Albo powołać się na uogólnione przez Breuscha (!) uogólnienia postulatu Bertranda, a mianowicie:
Jeśli \(\displaystyle{ x \ge 7}\) to między \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ 2x}\) mamy o najmniej jedną liczbę pierwszą każdej z postaci: \(\displaystyle{ 3k+1 \wedge 3k+2 \wedge 4k+1 \wedge 4k+3}\)
Załóżmy teraz że jakaś liczba n=4l+1 jest największą liczbą pierwszą tej postaci, ale między n+1 a 2n+2 leży inna liczba pierwsza tej postaci co przeczy założeniu. c.k.d
Awatar użytkownika
max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Liczby pierwsze postaci 4l+1

Post autor: max »

Można też zauważyć, że jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ P(x) := x^{2} + 1,}\) to nieparzyste dzielniki pierwsze \(\displaystyle{ P(a),}\) dla \(\displaystyle{ a\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}}\) są postaci \(\displaystyle{ 4k + 1,}\) skąd można wywnioskować co trzeba w dowodzie nie wprost.

To w zasadzie taka wskazówka do podpowiedzi freja i zarazem przyczynek do uogólnienia:
Wiedząc co to są wielomiany cyklotomiczne można przy użyciu ładnej elementarnej teorii liczb tę zależność z wielomianem \(\displaystyle{ P}\) uogólnić do postaci, z której całkiem szybko wynika, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) jest nieskończenie wiele liczb postaci \(\displaystyle{ kn + 1.}\)
(Jakby ktoś chciał się pobawić, to precyzyjne sformułowanie wspomnianego uogólnienia jako zadanko do zrobienia leży sobie tutaj, jest tam również dowód szczególnego przypadku z wielomianem \(\displaystyle{ P}\)).
ODPOWIEDZ