Proszę o przestawienie schematu rozwiązania zadania:
Ile jest czwórek (x; y; z; t) liczb całkowitych dodatnich spełniających
równanie \(\displaystyle{ xy + yz + zt + tx = 2008?}\)
Z góry dziekuję.
Ilośc czwórek spełniających równanie
-
kluczyk
- Użytkownik
- Posty: 441
- Rejestracja: 20 paź 2006, o 22:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Małopolska
- Podziękował: 77 razy
- Pomógł: 12 razy
Ilośc czwórek spełniających równanie
\(\displaystyle{ y(x+z)+t(x+z)=2008}\)
\(\displaystyle{ (x+z)(y+t)=2008}\) Teraz należy rozbić 2008 na czynniki pierwsze i po prostu porównywać każdą możliwą sytuację z wyrażeniem po lewej stronie. Np:
weźmy \(\displaystyle{ (2,1004)}\), stąd:
\(\displaystyle{ (x+z=2 \wedge y+t=1004) \vee (x+z=1004 \wedge y+t=2)}\) (klamry do układu równań mi nie wyszły ;/)
Pierwszy układ ma w liczbach całkowitych dodatnich (wymusza to od razu \(\displaystyle{ x=z=1}\)) 1003 rozwiązania, a ten drugi ze względu na symetryczność też 1003. I tak trzeba z każdym przypadkiem, a potem te rozwiązania po prostu zsumować. To zadanie było w tym roku na l stopniu Olimpiady o diamentowy indeks agh.
\(\displaystyle{ (x+z)(y+t)=2008}\) Teraz należy rozbić 2008 na czynniki pierwsze i po prostu porównywać każdą możliwą sytuację z wyrażeniem po lewej stronie. Np:
weźmy \(\displaystyle{ (2,1004)}\), stąd:
\(\displaystyle{ (x+z=2 \wedge y+t=1004) \vee (x+z=1004 \wedge y+t=2)}\) (klamry do układu równań mi nie wyszły ;/)
Pierwszy układ ma w liczbach całkowitych dodatnich (wymusza to od razu \(\displaystyle{ x=z=1}\)) 1003 rozwiązania, a ten drugi ze względu na symetryczność też 1003. I tak trzeba z każdym przypadkiem, a potem te rozwiązania po prostu zsumować. To zadanie było w tym roku na l stopniu Olimpiady o diamentowy indeks agh.