kongruencja- problem z dowodem

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
kkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 578
Rejestracja: 2 paź 2007, o 19:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ww
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 35 razy

kongruencja- problem z dowodem

Post autor: kkk »

Witam!
Mam udowodnić, że:
\(\displaystyle{ _{7} / 2222^{5555} + 5555^{2222}}\)
no i zrobiłem narazie tyle i nie wiem jak dalej ruszyć:
\(\displaystyle{ 2222^{5555} = (2 \cdot 1111)^5 \cdot 1111 = [(2 \cdot 1111)^{1111}]^{5} \\
5555^{2222} = (5 \cdot 1111)^2 \cdot 1111 = [(5 \cdot 1111)^{1111}]^{5} \\
2 \equiv -5 (mod 7) \\
2 \cdot 1111 \equiv -5 \cdot 1111 (mod 7) \\
(2 \cdot 1111)^{1111} \equiv -(5 \cdot 1111)^{1111} (mod 7)}\)


Z góry dziękuję za jakieś wskazówki
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

kongruencja- problem z dowodem

Post autor: bosa_Nike »

\(\displaystyle{ 2222^{5555}=(2\cdot 1111)^{5\cdot 1111}\equiv (2\cdot (-2))^{5\cdot 1111}=-(16\cdot 16\cdot 4)^{1111}\equiv -2^{1111}\pmod 7}\)

Drugi składnik analogicznie.
kkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 578
Rejestracja: 2 paź 2007, o 19:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ww
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 35 razy

kongruencja- problem z dowodem

Post autor: kkk »

a dalej jak to pójdzie?
Citizen
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 284
Rejestracja: 27 maja 2009, o 17:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 36 razy

kongruencja- problem z dowodem

Post autor: Citizen »

kkk pisze:Witam!
Mam udowodnić, że:
\(\displaystyle{ _{7} / 2222^{5555} + 5555^{2222}}\)
no i zrobiłem narazie tyle i nie wiem jak dalej ruszyć:
\(\displaystyle{ 2222^{5555} = (2 \cdot 1111)^5 \cdot 1111 = [(2 \cdot 1111)^{1111}]^{5} \\
5555^{2222} = (5 \cdot 1111)^2 \cdot 1111 = [(5 \cdot 1111)^{1111}]^{5} \\
2 \equiv -5 (mod 7) \\
2 \cdot 1111 \equiv -5 \cdot 1111 (mod 7) \\
(2 \cdot 1111)^{1111} \equiv -(5 \cdot 1111)^{1111} (mod 7)}\)


Z góry dziękuję za jakieś wskazówki
Można też w ten sposób:

(Nie widze znaku "przystaje" więc pisze "=")

2222=3(mod7) / (podnosze do odpowiedniej potęgi aby uzyskać modulo 1, tym razem do szóstej)
\(\displaystyle{ 2222^{6}=3^{6}(mod7)}\)
\(\displaystyle{ 2222^{6}=1(mod7)}\)

Teraz jak najbardziej "zbliżamy się" do 5555 potęgi, podnosimy obustronnie do 925 potęgi

\(\displaystyle{ 2222^{5550}=1(mod7)}\)

Teraz mnożymy obustronnie razy \(\displaystyle{ 2222^{5}}\) i sprawdzamy jakie modulo 7 ona daje.

\(\displaystyle{ 2222^{5}=3^{5}(mod7)}\)
\(\displaystyle{ 2222^{5}=5(mod7)}\)


Otrzymujemy
\(\displaystyle{ 2222^{5555}=5(mod7)}\)

Teraz analogicznie z drugim wyrażeniem. Troche to zagmatwane, ale mamy kolejny sposób na rozwiązanie ;D
Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 28 maja 2009, o 21:59 przez Citizen, łącznie zmieniany 2 razy.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

kongruencja- problem z dowodem

Post autor: bosa_Nike »

kkk pisze:a dalej jak to pójdzie?
Analogicznie...

\(\displaystyle{ (5\cdot 1111)^{2\cdot 1111}\equiv ((-2)\cdot (-2))^{2\cdot 1111}=\left(4^2\right)^{1111}\equiv 2^{1111}\pmod 7}\)
kkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 578
Rejestracja: 2 paź 2007, o 19:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ww
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 35 razy

kongruencja- problem z dowodem

Post autor: kkk »

dziękuję bardzo za poświęcenie czasu, już udało mi się zrobić ;D
Awatar użytkownika
Artist
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 865
Rejestracja: 27 sty 2008, o 21:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 239 razy

kongruencja- problem z dowodem

Post autor: Artist »

Citizen pisze:(Nie widze znaku "przystaje" więc pisze "=")

Kod: Zaznacz cały

equiv
Daje:
\(\displaystyle{ \equiv}\)
ODPOWIEDZ