Witam!
Mam udowodnić, że:
\(\displaystyle{ _{7} / 2222^{5555} + 5555^{2222}}\)
no i zrobiłem narazie tyle i nie wiem jak dalej ruszyć:
\(\displaystyle{ 2222^{5555} = (2 \cdot 1111)^5 \cdot 1111 = [(2 \cdot 1111)^{1111}]^{5} \\
5555^{2222} = (5 \cdot 1111)^2 \cdot 1111 = [(5 \cdot 1111)^{1111}]^{5} \\
2 \equiv -5 (mod 7) \\
2 \cdot 1111 \equiv -5 \cdot 1111 (mod 7) \\
(2 \cdot 1111)^{1111} \equiv -(5 \cdot 1111)^{1111} (mod 7)}\)
Z góry dziękuję za jakieś wskazówki
kongruencja- problem z dowodem
-
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 445 razy
kongruencja- problem z dowodem
\(\displaystyle{ 2222^{5555}=(2\cdot 1111)^{5\cdot 1111}\equiv (2\cdot (-2))^{5\cdot 1111}=-(16\cdot 16\cdot 4)^{1111}\equiv -2^{1111}\pmod 7}\)
Drugi składnik analogicznie.
Drugi składnik analogicznie.
-
- Użytkownik
- Posty: 284
- Rejestracja: 27 maja 2009, o 17:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 62 razy
- Pomógł: 36 razy
kongruencja- problem z dowodem
Można też w ten sposób:kkk pisze:Witam!
Mam udowodnić, że:
\(\displaystyle{ _{7} / 2222^{5555} + 5555^{2222}}\)
no i zrobiłem narazie tyle i nie wiem jak dalej ruszyć:
\(\displaystyle{ 2222^{5555} = (2 \cdot 1111)^5 \cdot 1111 = [(2 \cdot 1111)^{1111}]^{5} \\
5555^{2222} = (5 \cdot 1111)^2 \cdot 1111 = [(5 \cdot 1111)^{1111}]^{5} \\
2 \equiv -5 (mod 7) \\
2 \cdot 1111 \equiv -5 \cdot 1111 (mod 7) \\
(2 \cdot 1111)^{1111} \equiv -(5 \cdot 1111)^{1111} (mod 7)}\)
Z góry dziękuję za jakieś wskazówki
(Nie widze znaku "przystaje" więc pisze "=")
2222=3(mod7) / (podnosze do odpowiedniej potęgi aby uzyskać modulo 1, tym razem do szóstej)
\(\displaystyle{ 2222^{6}=3^{6}(mod7)}\)
\(\displaystyle{ 2222^{6}=1(mod7)}\)
Teraz jak najbardziej "zbliżamy się" do 5555 potęgi, podnosimy obustronnie do 925 potęgi
\(\displaystyle{ 2222^{5550}=1(mod7)}\)
Teraz mnożymy obustronnie razy \(\displaystyle{ 2222^{5}}\) i sprawdzamy jakie modulo 7 ona daje.
\(\displaystyle{ 2222^{5}=3^{5}(mod7)}\)
\(\displaystyle{ 2222^{5}=5(mod7)}\)
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ 2222^{5555}=5(mod7)}\)
Teraz analogicznie z drugim wyrażeniem. Troche to zagmatwane, ale mamy kolejny sposób na rozwiązanie ;D
Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 28 maja 2009, o 21:59 przez Citizen, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 445 razy
kongruencja- problem z dowodem
Analogicznie...kkk pisze:a dalej jak to pójdzie?
\(\displaystyle{ (5\cdot 1111)^{2\cdot 1111}\equiv ((-2)\cdot (-2))^{2\cdot 1111}=\left(4^2\right)^{1111}\equiv 2^{1111}\pmod 7}\)
- Artist
- Użytkownik
- Posty: 865
- Rejestracja: 27 sty 2008, o 21:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 239 razy
kongruencja- problem z dowodem
Citizen pisze:(Nie widze znaku "przystaje" więc pisze "=")
Kod: Zaznacz cały
equiv
\(\displaystyle{ \equiv}\)