Wykaz nierownosc

jesad_19 · Post autor: **jesad_19** » 28 maja 2009, o 12:51

Wykaż że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c \in R}\) zachodzą nierówności:
\(\displaystyle{ (a>0 \wedge b> 0) \Rightarrow \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \le \sqrt{ab}}\)

lina2002 · Post autor: **lina2002** » 28 maja 2009, o 12:56

\(\displaystyle{ \frac{2ab}{a+b} \le \sqrt{ab}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{ab}}{a+b} \le 1}\)

\(\displaystyle{ 0 \le a-2 \sqrt{ab} +b}\)

\(\displaystyle{ 0 \le ( \sqrt{a}- \sqrt{b})^{2}}\)

Swoją drogą jest to szczególny nierówności pomiędzy średnią harmoniczną, a geometryczną, która działa także dla większej ilości składników.

jesad_19 · Post autor: **jesad_19** » 28 maja 2009, o 13:11

\(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{ab}}{a+b} \le 1}\) Skad ci wyszła ta jedynka ? Pozniej usunales mianownik i wykorzystany wzor skroconego mnozenia. Ale nie widze skad ta jedynka i pierwiastek ;]

lina2002 · Post autor: **lina2002** » 28 maja 2009, o 13:22

Podzieliłam obie strony przez \(\displaystyle{ \sqrt{ab}}\)

jesad_19 · Post autor: **jesad_19** » 28 maja 2009, o 13:24

No tyle się domyslilem ale mi nie wychodzi z lewej strony.

lina2002 · Post autor: **lina2002** » 28 maja 2009, o 13:29

Przecież \(\displaystyle{ \frac{2ab}{ (a+b)\sqrt{ab} }= \frac{2 \sqrt{ab} \cdot \sqrt{ab} }{(a+b) \sqrt{ab} } = \frac{2 \sqrt{ab}}{a+b}}\)