Ukryta treść:
Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.
-
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 445 razy
Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.
Znajdziemy wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba \(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{2}-\sqrt{2}}\).
Współczynnik wiodący wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) jest równy jeden, tzn. wszystkie wymierne pierwiastki \(\displaystyle{ P(x)}\) (o ile istnieją) są całkowite (i dzielą wyraz wolny wielomianu). I na odwrót - jeżeli jakiś pierwiastek \(\displaystyle{ P(x)}\) nie jest całkowity, to nie jest wymierny. Jeszcze inaczej - jeżeli żaden z dzielników wyrazu wolnego \(\displaystyle{ P(x)}\) nie jest pierwiastkiem tego wielomianu, to \(\displaystyle{ P(x)}\) nie ma pierwiastków wymiernych. Itd... (teraz potrzebujesz dowieść, że \(\displaystyle{ a}\) nie jest całkowite, ewentualnie - w tym przypadku - pokazać, że żaden z dzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ P(x)}\)).
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.
Prościej (szybciej, bo metoda ta sama) tak jak proponował frej, przypuśćmy, że k jest wymierne:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}=\sqrt{2}+k \\ 2=(\sqrt{2}+k)^3=2\sqrt{2}+6k+3\sqrt{2}k^2+k^3 \\ 2-6k-k^3=\sqrt{2}(2+3k^2) \\ \sqrt{2}=\frac{2-6k-k^3}{2+3k^2}}\)
Liczba po prawej stronie jest wymierna, po lewej nie - sprzeczność, zatem k jest niewymierne, co należało dowieść.
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}=\sqrt{2}+k \\ 2=(\sqrt{2}+k)^3=2\sqrt{2}+6k+3\sqrt{2}k^2+k^3 \\ 2-6k-k^3=\sqrt{2}(2+3k^2) \\ \sqrt{2}=\frac{2-6k-k^3}{2+3k^2}}\)
Liczba po prawej stronie jest wymierna, po lewej nie - sprzeczność, zatem k jest niewymierne, co należało dowieść.
-
- Użytkownik
- Posty: 584
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 309 razy
- Pomógł: 6 razy
Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.
A więc to miał na myśli frej Dzięki wszystkim za pomoc, bardzo mi pomogliście.
Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.
próbuję zrobić to zadanie, przeanalizowałam wszystki odpowiedzi i dalej nie wiem jak rozwiązać przykład z \(\displaystyle{ log_{2}}\) 3 , \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{cos}}\) Czy porównać z \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) i podnieś do kwadratu?
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.
przypuśćmyxxxo pisze:próbuję zrobić to zadanie i nie wiem jak rozwiązać przykład z \(\displaystyle{ \log_{2} 3}\)
\(\displaystyle{ \log _{2}3= \frac{p}{q} ;p,q \in Z \setminus \left\{ 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q}}=3}\)
\(\displaystyle{ 2^p=3^q}\)
teraz z uwagi na to,że \(\displaystyle{ \log _{2}3>0}\) możliwości są tylko takie, że p,q obie dodatnie lub obie ujemne. Łatwo widać że każdy z tych przypadków prowadzi do sprzeczności (przy ujemnych przejść na odwrotności)