Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: bosa_Nike »

Znajdziemy wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba \(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{2}-\sqrt{2}}\).
Ukryta treść:    
Współczynnik wiodący wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) jest równy jeden, tzn. wszystkie wymierne pierwiastki \(\displaystyle{ P(x)}\) (o ile istnieją) są całkowite (i dzielą wyraz wolny wielomianu). I na odwrót - jeżeli jakiś pierwiastek \(\displaystyle{ P(x)}\) nie jest całkowity, to nie jest wymierny. Jeszcze inaczej - jeżeli żaden z dzielników wyrazu wolnego \(\displaystyle{ P(x)}\) nie jest pierwiastkiem tego wielomianu, to \(\displaystyle{ P(x)}\) nie ma pierwiastków wymiernych. Itd... (teraz potrzebujesz dowieść, że \(\displaystyle{ a}\) nie jest całkowite, ewentualnie - w tym przypadku - pokazać, że żaden z dzielników wyrazu wolnego nie jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ P(x)}\)).
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: Sylwek »

Prościej (szybciej, bo metoda ta sama) tak jak proponował frej, przypuśćmy, że k jest wymierne:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}=\sqrt{2}+k \\ 2=(\sqrt{2}+k)^3=2\sqrt{2}+6k+3\sqrt{2}k^2+k^3 \\ 2-6k-k^3=\sqrt{2}(2+3k^2) \\ \sqrt{2}=\frac{2-6k-k^3}{2+3k^2}}\)

Liczba po prawej stronie jest wymierna, po lewej nie - sprzeczność, zatem k jest niewymierne, co należało dowieść.
_Mithrandir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 584
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 309 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: _Mithrandir »

A więc to miał na myśli frej Dzięki wszystkim za pomoc, bardzo mi pomogliście.
xxxo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 17 paź 2011, o 15:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wroclaw

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: xxxo »

próbuję zrobić to zadanie, przeanalizowałam wszystki odpowiedzi i dalej nie wiem jak rozwiązać przykład z \(\displaystyle{ log_{2}}\) 3 , \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{cos}}\) Czy porównać z \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) i podnieś do kwadratu?
Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 475 razy

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: Psiaczek »

xxxo pisze:próbuję zrobić to zadanie i nie wiem jak rozwiązać przykład z \(\displaystyle{ \log_{2} 3}\)
przypuśćmy

\(\displaystyle{ \log _{2}3= \frac{p}{q} ;p,q \in Z \setminus \left\{ 0\right\}}\)

\(\displaystyle{ 2^{ \frac{p}{q}}=3}\)

\(\displaystyle{ 2^p=3^q}\)

teraz z uwagi na to,że \(\displaystyle{ \log _{2}3>0}\) możliwości są tylko takie, że p,q obie dodatnie lub obie ujemne. Łatwo widać że każdy z tych przypadków prowadzi do sprzeczności (przy ujemnych przejść na odwrotności)
ODPOWIEDZ