Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
_Mithrandir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 584
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 309 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: _Mithrandir »

Mam za zadanie udowodnić, że niewymierne są następujące liczby: \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), \(\displaystyle{ \mbox{log}_2 3}\), \(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{8}}\), \(\displaystyle{ \sqrt{2} - \sqrt{3}}\), \(\displaystyle{ \mbox{tg} 1^o}\) i \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2} - \sqrt{2}}\).

W podręczniku do LO widziałem taki dowód na niewymierność \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\):

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą wymierną (dowód nie wprost). Zatem \(\displaystyle{ \sqrt{2}=\frac{p}{q}}\), po podniesieniu obu stron równania do kwadratu: \(\displaystyle{ 2=\frac{p^2}{q^2}}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ 2q^2=p^2}\), czyli \(\displaystyle{ 2 \cdot q \cdot q = p \cdot p}\). Gdyby rozłożyć q i p na czynniki pierwsze, to w każdym z iloczynów \(\displaystyle{ q\cdot q}\) oraz \(\displaystyle{ p \cdot p}\) czynnik 2 albo nie występuje wcale, albo występuje parzystą liczbę razy. Zatem po lewej stronie ostatniej nierówności czynnik 2 występuje nieparzystą liczbę razy, a po prawej - parzystą. Sprzeczność. Otrzymaliśmy więc, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest liczbą niewymierną.

I teraz moje pytanie - czy do moich przykładów można zastosować tą samą metodę? Bo z pierwszym przykładem doszedłem do etapu \(\displaystyle{ 5 \cdot q \cdot q = p \cdot p}\) i nie wiem co dalej. Myślałem, żeby w \(\displaystyle{ \sqrt{2} - \sqrt{3}}\) udowodnić niewymierność obu składników i stwierdzić, że różnica różnych liczb jest liczbą niewymierną, ale czy to prawda?

Jeżeli opisana metoda nie jest słuszna dla wszystkich przypadków, to jak się rozprawić z pozostałymi? Są jakieś ogólne metody?-- 28 maja 2009, 11:52 --Ok, z \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) już załapałem Problem z resztą.
Awatar użytkownika
kuch2r
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2302
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: kuch2r »

odnośnie twojego pytania, na temat różnicy dwóch liczb niewymiernych.. otóż różnica niekoniecznie jest liczbą niewymierną...
Dla przykładu, niech
\(\displaystyle{ x_1=\sqrt{2}+1\\x_2=\sqrt{2}}\).
Wówczas
\(\displaystyle{ x_1-x_2=1}\)
_Mithrandir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 584
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 309 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: _Mithrandir »

Więc jak rozprawić się z różnicą tych dwóch pierwiastków? Bo wiem, że oba składniki są niewymierne, to jestem w stanie udowodnić. (pierwsze trzy przykłady już udało mi się zrobić)
frej

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: frej »

4.Załóż, że \(\displaystyle{ \sqrt{3}-\sqrt{2}=\frac{p}{q} \qquad p,q \in \mathbb{Z} \ NWD(p,q)=1}\) podnieś do kwadratu. Co możesz powiedzieć o \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) ?

5. Załóż, że \(\displaystyle{ \tg 1^\circ = \frac{p}{q} \qquad p,q \in \mathbb{Z} \ NWD(p,q)=1}\) skorzystaj ze wzoru na tangens podwójnego kąta i pamiętaj o tym, że \(\displaystyle{ 30=32-2}\)

6. Ta sama procedura, \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}=\sqrt{2}+\frac{p}{q}}\) do szóstej, z prawej strony wyłącz \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Co możesz powiedzieć o tej liczbie w kontekście niewymierności/wymierności ?
_Mithrandir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 584
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 309 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: _Mithrandir »

4. Do podniesienia do kwadratu doszedłem. Wiem, to liczba niewymierna. Ale czy zawsze wielokrotności liczb niewymiernych są liczbami wymiernymi?

Z 5. i 6. zaraz popróbuję.-- 28 maja 2009, 18:05 --Co do 5. - jak mam ten wzór wykorzystać? \(\displaystyle{ \mbox{tg} 2^o = \frac { 2 \cdot \mbox{tg} 1^o}{1 - \mbox{tg} 1^o \cdot \mbox{tg} 1^o}}\)? Czy z \(\displaystyle{ \mbox{tg}(32^o - 2^o)}\)?
frej

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: frej »

Suma, różnica, iloczyn, iloraz liczb wymiernych jest liczbą wymierną. Ta sama liczba nie może być jednocześnie wymierna i niewymierna.
_Mithrandir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 584
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 309 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: _Mithrandir »

To to ja wiem, pytam o coś innego Czy wielokrotności liczb niewymiernych mogą być liczbą wymierną -- 28 maja 2009, 23:25 --Tzn. nie wiem czy mogę to nazwać wielokrotnością. Iloczyn liczby całkowitej i niewymiernej.
Awatar użytkownika
Maciej87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 377
Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 46 razy

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: Maciej87 »

Pytasz właśnie o to co powiedział frej.
Jeśli wielokrotność (ze wspołczynnikiem całkowitym lub wymiernym) jest wymierna, to dzielimy przez ten współczynnik. Po jednej stronie zostaje liczba niewymierna, a po drugiej iloraz dwóch wymiernych.
_Mithrandir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 584
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 309 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: _Mithrandir »

4.

Zrobiłem tak:

\(\displaystyle{ \sqrt{2} - \sqrt{3} = \frac{p}{q}}\)

\(\displaystyle{ 5 - 2\sqrt{6} = \frac{p^2}{q^2}}\)

\(\displaystyle{ 2\sqrt{6}=5 - \frac{p^2}{q^2}=\frac{5q^2 - p^2}{q^2}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{6} = \frac{5q^2 - p^2}{2q^2}}\)

I co teraz? Nie wiem jak to uzasadnić. Wiem, że \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) jest niewymierna, mogę na to zrobić osobny dowód według schematu z pierwszego postu. Ale co z prawą stroną?-- 29 maja 2009, 14:51 --Aha, mamy sprzeczność, bo z lewej strony jest liczba niewymierna, a z prawej wymierna, więc liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2} - \sqrt{3}}\) jest niewymierna?
xanowron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1996
Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 247 razy

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: xanowron »

Tak
_Mithrandir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 584
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 309 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: _Mithrandir »

Dzięki. A wracając do tego, co napisał frej.

5. Mam założyć, że \(\displaystyle{ \mbox{tg} 1^o = \frac{p}{q}}\)

Skorzystać z wzoru na tangens podwójnego kąta, czyli \(\displaystyle{ \mbox{tg} 2 \alpha = \frac{2 \mbox{tg} \alpha}{1 - \mbox{tg} ^2 \alpha}}\). Ale mam założyć, że \(\displaystyle{ 2\alpha = 2^o}\) i wyznaczyć z tego \(\displaystyle{ \mbox {tg} 1^o}\), i dalej wzór na różnicę kątów (32 - 2, dające znane 30), czy założyć, że \(\displaystyle{ 2\alpha = 1^o}\)?
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: timon92 »

zakładamy, że \(\displaystyle{ \tg 1^\circ}\) jest wymierne. Ze wzoru na tangens podwojonego kąta również \(\displaystyle{ \tg 2^\circ}\) jest wymierne. I dalej wymierne są \(\displaystyle{ \tg 4^\circ}\), \(\displaystyle{ \tg 8^\circ}\), \(\displaystyle{ \tg 16^\circ}\), \(\displaystyle{ \tg 32^\circ}\). Natomiast z tangensa różnicy mamy, że \(\displaystyle{ \tg 30^\circ = \tg (32^\circ - 2^\circ) = \frac{\tg 32^\circ - \tg 2^\circ}{1+ \tg 32^\circ \cdot \tg 2^\circ}}\), czyli że \(\displaystyle{ \tg 30^\circ}\) jest wymierne, a wiadomo przecież, że \(\displaystyle{ \tg 30^\circ = \frac{ \sqrt{3} }{3}}\), sprzeczność.
_Mithrandir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 584
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 309 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: _Mithrandir »

Dzięki.
6. Ta sama procedura, \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}=\sqrt{2}+\frac{p}{q}}\) do szóstej, z prawej strony wyłącz \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Co możesz powiedzieć o tej liczbie w kontekście niewymierności/wymierności ?
Wzór taki wyliczyłem:

\(\displaystyle{ (a+b)^6=a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6}\)

Po podniesieniu obu stron równania \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}=\sqrt{2}+\frac{p}{q}}\) do potęgi szóstej otrzymałem:

\(\displaystyle{ 4=8+6 \cdot 2 ^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{p}{q} + 60 \cdot \frac{p^2}{q^2} + 20 \cdot 2 ^ {\frac{3}{2}} \cdot \frac{p^3}{q^3} + 30 \cdot \frac{p^4}{q^4} + 6 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{p^5}{q^5} + \frac{p^6}{q^6}}\)

Wyłączam z prawej strony \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\):

\(\displaystyle{ 4=\sqrt{2}(2^{\frac{5}{2}} + 24 \cdot \frac{p}{q} + 15 \cdot 2^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{p^2}{q^2} + 40 \cdot \frac{p^3}{q^3} + 15 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{p^4}{q^4} + 6 \cdot \frac{p^5}{q^5} + 2^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{p^6}{q^6})}\)

Ale co z tego wynika? W nawiasie nadal jest liczba niewymierna (chyba?).
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: bosa_Nike »

6.
Wskazówka 1: Liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}-\sqrt{2}}\) jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^6-6x^4-4x^3+12x^2-24x-4=0}\).

Wskazówka 2: Twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu.
_Mithrandir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 584
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 309 razy
Pomógł: 6 razy

Udowodnij, że dana liczba jest niewymierna.

Post autor: _Mithrandir »

A skąd to równanie ze wskazówki 1?
ODPOWIEDZ