równanie w liczbach całkowitych
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
równanie w liczbach całkowitych
\(\displaystyle{ 2(x+y)=(x-y)^2 + x^2 + y^2 \\ 2=(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2}\)
W szczególności gdyby \(\displaystyle{ (x-1) \ge 2}\), byśmy mieli sprzeczność, zatem: \(\displaystyle{ (x-1) \in \lbrace -1,0,1 \rbrace}\), czyli \(\displaystyle{ x \in \lbrace 0,1,2 \rbrace}\) - wystarczy sprawdzić te 3 przypadki - w których z nich uzyskujemy rozwiązania całkowite, a w których nie.
W szczególności gdyby \(\displaystyle{ (x-1) \ge 2}\), byśmy mieli sprzeczność, zatem: \(\displaystyle{ (x-1) \in \lbrace -1,0,1 \rbrace}\), czyli \(\displaystyle{ x \in \lbrace 0,1,2 \rbrace}\) - wystarczy sprawdzić te 3 przypadki - w których z nich uzyskujemy rozwiązania całkowite, a w których nie.
-
frej
równanie w liczbach całkowitych
Chyba można też tak:
Zauważmy, że \(\displaystyle{ 0\le x+y= (x+\frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4} y^2}\)
\(\displaystyle{ 3xy=(x+y)^2-(x+y) \quad \Rightarrow \quad 3xy|x+y}\)
Zatem
jeśli \(\displaystyle{ x=0 \vee y=0}\) to łatwo.
jeśli \(\displaystyle{ 0< 3xy \le x+y}\), to \(\displaystyle{ 1 \ge (3x-1)(3y-1)}\)
a jeśli \(\displaystyle{ x<0<y}\), to \(\displaystyle{ -3xy \le x+y}\), czyli \(\displaystyle{ 1 \le (3x+1)(3y+1)}\) ale pamiętając o tym, że \(\displaystyle{ x<0}\) nie mamy rozwiązań.
Zauważmy, że \(\displaystyle{ 0\le x+y= (x+\frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4} y^2}\)
\(\displaystyle{ 3xy=(x+y)^2-(x+y) \quad \Rightarrow \quad 3xy|x+y}\)
Zatem
jeśli \(\displaystyle{ x=0 \vee y=0}\) to łatwo.
jeśli \(\displaystyle{ 0< 3xy \le x+y}\), to \(\displaystyle{ 1 \ge (3x-1)(3y-1)}\)
a jeśli \(\displaystyle{ x<0<y}\), to \(\displaystyle{ -3xy \le x+y}\), czyli \(\displaystyle{ 1 \le (3x+1)(3y+1)}\) ale pamiętając o tym, że \(\displaystyle{ x<0}\) nie mamy rozwiązań.