Układ równań

[Althorion]

Nie bardzo wiedziałem, gdzie to wrzucić, ale wygląda na zadanie z podzielności na pierwszy rzut oka...

Podaj wszystkie pary liczb pierwszych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) spełniających układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 + 8b = c^2 \\ a^2 - 8b = d^2 \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ c, d \in \mathbb{N}}\).

Gołym okiem widać, że warunki spełnia para \(\displaystyle{ (5, 3)}\), ale nie wiem ani jak do tego dojść, ani czy jest to jedyna taka para.

[Artist]

Rozpatrzy najpierw pierwsze równanie. Kwadrat dowolnej liczby pierwszej nierównej 3 daje przy dzieleniu przez 3 reszte 1.
W pierwszym przypadku \(\displaystyle{ b=3k+1}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+8b \equiv 1+1 \equiv 2 \ (mod \ 3)}\)
Prawa strona natomiast przystaje do 1. Sprzeczność. Podobnie gdy \(\displaystyle{ b=3k+2}\)
Musi więc być jedną z liczb 3 i jest nią b inaczej w drugim mamy sprzecznosć.
Teraz rozpatrzy drugie równanie:
\(\displaystyle{ (a^{2}-d^{2})=24}\)
\(\displaystyle{ (a-d)(a+d)=24}\)
Teraz trzeba kolejno rozpatrzeć ukłądy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a-d=1 \\ a+d=24 \end{cases} \vee \begin{cases} a-d=2 \\ a+d=12 \end{cases} \vee \begin{cases} a-d=3 \\ a+d=8 \end{cases} \vee \begin{cases} a-d=4 \\ a+d=6 \end{cases} \vee \begin{cases} a-d=6 \\ a+d=4 \end{cases} \vee \begin{cases} a-d=8 \\ a+d=3 \end{cases} \vee \begin{cases} a-d=12 \\ a+d=12 \end{cases} \vee \begin{cases} a-d=24 \\ a+d=1 \end{cases}}\)
Rozwiąż je a dostaniesz a. Pozdrawiam.