Podzielność liczby ABCDEF

[kamil94]

Witam,
nie wiem dokładnie w jakim dziale dać to zadanie, ale dałem je tutaj. A teraz do rzeczy:
Niech liczba ABCDEF będzie liczbą sześciocyfrową taką, że A+D=B+E=C+F=9. Wykaż, że liczba ABCDEF jest podzielna przez 37.
Z góry dziękuje za rozwiązania i proszę o pełne i dokładne rozwiązania (przepraszam za powtórzenie).

[lina2002]

Jesteś pewien, że ma być 37, a nie 27? Bo 37 to liczba pierwsza i raczej trudno by to było udowonić, a \(\displaystyle{ 27=3 ^{3}}\)...

[kamil94]

nie na pewno ma być 37. To zadanie dał na profesor do zrobienia i trochę się nad tym głowimy jak się do tego zabrać.

[Artist]

Na sam początek zauważmy, że:
\(\displaystyle{ 37 \cdot 3=111}\)
Ponadto abcdef=3k gdzie \(\displaystyle{ k \in N}\)oraz \(\displaystyle{ NWD_{(3,37)}=1}\)
Wystarczy zatem wykazać, że liczba ta dzieli się prze 111.
Z cechy podzielności liczba jest podzielna przez 111 jeśli po podzeileniu jej na liczby trzycyfrowe ich suma będzie podzielna przez 111. W naszej liczbi jest zawsze 999 co jest podzielne przez 111.
C.n.D.-- 21 maja 2009, 21:07 --Dowód podzielności można wyprowadzić przy pomocy kongrugencji jeśli Cię to interesuje, wystarczy skorzystać z \(\displaystyle{ 1000 \equiv 1 \ (mod \ 111)}\) i pięknie zacznie się nam upraszczać.

[kamil94]

no nie wiem np. liczba 345654 nie dzieli się przez 111

[lina2002]

Racja, Artist w sumie jak się zapisze \(\displaystyle{ 100000A+10000B+1000C+100(9-A)+10(9-B)+(9-C)=99900A+9990B+999C+999}\)to tez wychodzi -- 21 maja 2009, 21:17 --

no nie wiem np. liczba 345654 nie dzieli się przez 111

\(\displaystyle{ 3114 \cdot 111=345654}\)

[kamil94]

dziękuje wam bardzo za pomoc

[Artist]

Ja chciałem to zapisać (tak dla bajeru):
\(\displaystyle{ 100000a+10000b+1000c+100d+10e+f \equiv 100a+10b+c+100d+10e+f=100(a+d)+10(b+e)+(c+f)=900+90+9=999 \equiv 0 \ (mod \ 111)}\)

Można to uogólnić na cechę podzielności 111 przez większe liczby.

[lina2002]

Faktycznie ładnie wygląda . Ale zadanie można by ulepszyc. Na miejscu tego profesora dałbym takie: Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ 3n}\)-cyfrowa \(\displaystyle{ a_{1}a_{2}...a_{3n}}\) jest podzielna przez 37, jeżeli \(\displaystyle{ 9}\) dzieli \(\displaystyle{ a_{1}+a_{4}+...+a_{3n-2}}\) i \(\displaystyle{ a_{2}+a_{5}+...+a_{3n-1}}\) i \(\displaystyle{ a_{3}+a_{6}+...+a_{3n}}\). A właściwie to jakby to zapisac za pomocą symbolu sumy (który nie wiem dlaczego mi nie działa na laptopie, tylko wyrzuca mnie na stronę główną , to byłoby jeszcze ładniejsze .