szukanie liczb naturalnych

[kamil94]

Witam!
Chciałbym prosić o rozwiązanie lub jakieś wskazówki do następującego zadania:
Znajdź wszystkie liczby naturalne n dla których liczba (n^4)+(n^2)+1 jest pierwsza.
Z góry dziękuje za rozwiązania. Proszę o wyjaśnienia krok po kroku.

[Artist]

\(\displaystyle{ n^{4}+n^{2}+1=(n^{2}+n+1)(n^{2}-n+1)}\)

Jeden nawias musi być równy jeden. Dojdziesz sama dalej.

[kamil94]

dalej nie rozumiem (

[Artist]

Rozlożyłem Ci na iloczyn. Skoro chcesz otrzymać liczbę pierwszą to dzieli się przez 1 i samą siebie, wiemy również, że drugi czynnik jest mniejszy, więc mamy:
\(\displaystyle{ n^{2}-n+1=1}\)
\(\displaystyle{ n^{2}-n=0}\)
\(\displaystyle{ n(n-1)=0 \Rightarrow n=0 \vee n=1}\), ale dla 0 nie otrzymujemy liczby pierwszej. Dla 1 natomiest otrzymamy 3 i jest to jedyna liczba pierwsza jaką uzyskamy.

[RyHoO16]

Tak jak napisał Artist,

Jeżeli jeden z nawiasów jest równy 1 to drugi musi być równy danej liczbie pierwszej.
Odp \(\displaystyle{ n=1}\)